正弦定理和余弦定理教案设计.doc

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　正弦定理和余弦定理
知 识 梳 理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，假如角A，B，C所对的边分别是a，b，c，如此
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos B
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
解决的问题
(1)两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)三边，求三个角；
(2)两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
△ABC中，a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解

(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B.
辨 析 感 悟
1．三角形中关系的判断
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(1)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.(×)
(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，如此A＝60°或120°.(√)
2．解三角形
(3)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，如此sin B＝.(√)
(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝，如此b＝6.(√)
3．三角形形状的判断
(5)在△ABC中，假如sin Asin B＜cos Acos B，如此此三角形是钝角三角形．(√)
(6)在△ABC中，假如b2＋c2＞a2，如此此三角形是锐角三角形．(×)
[感悟·提升]
1．一条规律　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，如(1)．
2．判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2013·某某卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a， B＝b，如此角A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　
.
(2)(2014·某某模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假如a＝1，c＝4，B＝45°，如此sin C＝______.
解析　(1)在△ABC中，由正弦定理与得2sin A·sin B＝sin B，
∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0.
∴sin A＝.又∵△ABC为锐角三角形，
∴A∈，∴A＝.
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，即b＝5.
所以sin C＝＝＝.
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答案　(1)A　(2)
规律方法 两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进展判断．
【训练1】 (1)在△ABC中，a＝2，c＝2，A＝60°，如此C＝(　　)．
A．30° B．45° C．45°或135° D．60°
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，假如a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，如此A＝(　　)．
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析　(1)由正弦定理，得＝，
解得：sin C＝，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°.
(2)∵sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b，
∴cos A＝＝＝＝，
又A为三角形的内角，∴A＝30°.
答案　(1)B　(2)A
考点二　判断三角形的形状
【例2】(2014·某某一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小；(2)假如sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状．
解　(1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2