函 数 的 单 调 性.ppt

函 数 的 单 调 性
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画出函数y = x2的图像
描点法的步骤：
列表 → 描点→ 连线
（连成光滑曲线）
回顾：
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函数y = x2随着自变量x的变化（从左往右），函数值y怎样变化？
通过对函数 y = x2
图象的分析，可知：
在(-∞,0)上，随着自变量x的增大，函数值相应地减小；
在(0,+∞)上，随着自变量x的增大，函数值相应地随之增大。
观察图形
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(1) 增函数、减函数的定义
如果对于给定的区间内的任意两个自变量x1 、x2，当x1〈 x2时，
都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数。

如果对于给定的区间内的任意两个自变量x1 、x2，当x1〈 x2 时，
都有f(x1)>f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数。
函数单调性
这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？
根据y=x2的图像可知：两者是一致的。
定义中的“当x1〈 x2时，f(x1)<f(x2)”
描述了y随x的增大而增大；“当x1〈 x2
时，f(x1)>f(x2)”描述了y随x的增大而减少。
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(2)单调性与单调区间
函数单调性
① 分析函数y = x2 在区间(0,∞)上的单调性和单调区间。
如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性。这一区间叫做函数的单调区间。
任务：
由图象可知：
函数y=x2 在区间(0,+∞)上单调增加，则区间(0,+∞)称为函数y=x2的单调增区间。
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(2)单调性与单调区间
函数单调性
② 分析函数 y=1/x在区间(0,∞)上的单调性和单调区间。
如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性。这一区间叫做函数的单调区间。
任务：
由图象可知：函数 y=1/x在区间(0,+∞)上单调减少，则区间(0,+∞)称为函数y =1/x的单调减区间。
思考：函数 y=1/x在整个定义域上是否单调递减？
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(3)对函数单调性的理解
函数单调性
①自变量属于定义域且任意；
②函数的单调性是反映函数在某一个区间 上函数值随自变量变化而变化的性质。
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⑴根据图象说出函数在指定区间上是增函数还是减函数。
根据图象判断函数的单调性
（a , b） （c , d）
（-∞, +∞） （-∞, +∞）
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⑵下图所示是定义在闭区间[-5, 5]上的函数f(x)的图像，根据图像说出f(x)的单调区间，并回答在每一个单调区间上，f(x)是增函数还是减函数？
根据图象判断函数的单调性
解：此图看出函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2]、[-2,1]、[1,3]、[3,5]
其中在区间[-5,-2]上是减函数，在区间 [-2, 1]上是增函数，在区间[1,3] 上是减函数，在[3 ,5]上是增函数。
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利用定义判断函数的单调性
判断函数f(x)=3x+2在（-∞, +∞）上的单调性。
分析：
根据定义进行判断的关键在于说明“当
x1 < x2 时，f(x1)与f(x2)的大小关系”。
可设x1 < x2为其定义域上的任意两个数，
考虑证明f(x1)-f(x2)<0（或>0），即得出
f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2) )。
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