【高考数学冲刺解题技巧】高考数学函数中的赋值问题及解题技巧.doc

.
函数中的赋值问题
第一讲 赋值的意义
函数赋值是一个热门的话题，赋值之所以“热” ，是因为它涉及到函数领域的方方面面：
讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性 )；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不 等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等等.
然而时下，在相当一部分学生的答卷中，甚或在一些地区的模拟试卷的标准解答中，一种以 极限语言或极限观点替代赋值论证的“素描式”解题现象应予关注和纠正.
1•从一道调研试题的标准解答说起
题目
1 已知函数 f(x) =aex 亠 x2 -bx(a,b 三 R).
(1)
略；(3)略;
#
#
(2)
设b=：0，若f (x)在R上有且只有一个零点，求 a的取值范围.
2
解: ( 2) b =0，则方程aex x2 =0即-a =电有唯一解.
e
记匸胡x), g (xr分，令 g(xrg x^0,x^2.
x
e
① x < 0 时，g (x) < 0,g(x)单调减,
所以g(x) > g(0) =0二g(x)的取值范围是［0,：：)
(?)
2
g(x)仝
②0：：：x”：2时…，g(x)的取值范围是(0,刍)；
e
③x > 2时，g (x) < 0,g(x)单调减，且恒正，所以
g (x)的取值范围是i。二
I e」
所以当_a =0或—a •刍时，f (x)有且只有一个零点，故 a的取值范围是a=0或a：：： 4 e
e2
质疑:
1•“ g(x) > 0 ”与“ g(x)的取值范围 是［0,；) ”是否等价?
2•也许解答的潜意识是 xg(x^ 二：，那么其依据是什么？
作为指挥棒的省考、国考又是怎样处理相关问题的呢
2 g(x)== 二
答：一个中心：参数全程扫描 ；一个基本点：赋值丝丝入扣

题目2设函数f(x)=ln x —ax,g(x) =ex —ax，其中a为实数.
(1) 略;
(2)若g(x)在(_1,;)上是单调增函数，求
f (x)的零点个数，并证明你的结论.
(2) 解：由g(x)在(_1,;)上单调增，得a < 1 (过程略).
1a < 0 时，f (x)=丄「a .0, f(x)L ,
x
而 f (ea‘)=a(1 -eaX) -1 ：：：0, f (e) =1 -ae 0，且 f (x)图像不间断， 依据零点定理，f (x)有且只有一个零点.
【分析a 0时，由f (x) =0= x =】(极大值点),f(x)max =ln丄-1】
a a
2：a =丄时,f (x) =ln x - lx .令 f (x)=丄-1 = 0,x = e .
e x e
且 x . e,f (x) ::: 0,0 ::: x ::: e, f (x) . 0 , 所以x =e是f (x)的极大值点，也是最大值点， 所以 f (x) < f(e)=0，当且仅当 x=e, f(x)=0 .
故f (x)有唯一零点x =e .
x
(0丄) a
1 a
厂(X)
+
0
—
f(x)
□
f (x)max
□
30心1时，令心)十“:
所以畑宀日二吩-10.
#
#
①在(0,-)上，f(1)-_a：：：0且f (x)单调，所以f (x)有且只有一个零点; a
②在(1^::)上，显然 4」，注意到2的结论(lnx < 1x),
a a a e
所以 f (」2) =2ln 1 _丄=2(ln 1 a a a a
2a)仝2右才0，同理f(x)有且只有一个零点.
由①②f (x)有两个零点.
综上所述，当a < 0或a4时，f(x)有1个零点；当OS*时，f(x)有2个零点.
【注"本题第(刀问“30 时”赋值点的形成过程及其多元性
①在叫上，因为「（。日，且为常数，所以理应成为直观..赋值点的首选.
②在（丄，；）上【难点！】依据单调性，直观赋值点应在 1右侧充分远处•尝试 2，失败!
a a a
表明该赋值点不够远，再改试 12，成了！（过程如上）•显然，赋值点不唯一.
a
在（0,1）上，也可考虑1 ：：：1,f（1） <0（标解），
a e a e
或a订，f（a）』a_a2 一1一『：：：0 （均不及赋值1简便）.
在（a，；）上也可考虑，a冷,吟）虫吩一着朮寸* -e（ini-i
1
a)0 •
_1 丄
_ aea = a（4 - ea） ::: 0 •
a
H 1
【注2】在本题2结论（In x < — x）的牵引下，区间（—,“3）上的二个