四点共圆(一).doc

word文档
word文档
1 / 12
word文档
四点共圆
【知识要点】
四点共圆的判定方法：
1、假如四个点到一定点的距离相等，如此这四个点在同一个圆上〔即这四点共圆〕。
2、假如一个四边形的一组对角的和等于180度，如此这个四边形的四个顶点共圆。
3、假如一个四边形的一个外角等于它的内对角，如此这个四边形的四个顶点共圆。
4、假如两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、假如、两线段相交于点，且，如此、、、四点共圆。
6、假如、两线段延长后相交于点，且，如此、、、四点共圆。
7、假如四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，如此四边形的四个顶点共圆。
【典例精讲】
例1、锐角的三条高、、交于，在、、、、、、七个点中．能组成四点共圆的组数是〔　　〕
A、组 B、组 C、组 D、组
例2、如图，、、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。〔1〕证明：；〔2〕延长到，延长到，使得，证明：、、、四点共圆.
word文档
word文档
2 / 12
word文档
例3、如图，在梯形中，，点，分别在边，上，设与相交于点，假如，，，四点共圆，求证：．
例4、点，，直线过点与轴交于点，假如、、、四点共圆，如此的值为〔 〕
A、B、 C、 D、无法求出
例5、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、，延长、分别交圆于、，求证：.
word文档
word文档
3 / 12
word文档
例6、如图，，分别是，边上的点，且不与顶点重合，，，，为方程的两根.〔1〕证明：，，，四点共圆；〔2〕假如，，，求，，，四点所在圆的半径．
例7、如图，为圆的直径，为垂直于的一条弦，垂足为，弦与交于点．〔1〕证明：、、、四点共圆；〔2〕证明：．
例8、如图，在平行四边形中，为钝角，且，．〔1〕求证：、、、四点共圆；〔2〕设线段与〔1〕中的圆交于、．求证：．
word文档
word文档
4 / 12
word文档
例9、如下列图，为的内心，求证：的外心与、、四点共圆.
例10、、、三点共线，点在直线外，，，分别为，，的外心．求证：，，，四点共圆.
例11、如图，在中，，分别是，的角平分线，是与的交点，假如，，，四点共圆，，如此的内切圆半径为多少？
word文档
word文档
6 / 12
word文档
例12、如图，点是外接圆弧的中点，点、在边上，使得，。证明：、、、四点共圆.
例13、如图，，，，．〔1〕求证：、、、四点共圆；〔2〕假如，求线段的长．
例14、在的边，，上分别取，，．使得，，又点是的外心．〔1〕证明：，，，四点共圆；〔2〕证明：在的平分线上．
例15、如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、、、四点共圆．〔1〕证明：是外接圆的直径；〔2〕假如
word文档
word文档
6 / 12
word文档
，求过、、、的圆的面积与外接圆面积的比值．
例16、如图，锐角的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，点为内切圆与边的切点．〔1〕求证：，，，四点共圆；〔2〕假如，求的度数．
例17、如图，在正中，点，分别在边、上，且，， ，相交于点，求证：〔1〕，，，四点共圆；〔2〕．
【强化训练】
如图，是⊙的直径，弦，的延长线相交于点，垂直的延长线于点．
word文档
word文档
7 / 12
word文档
求证：〔1〕；〔2〕，，，四点共圆．
2、如图，是⊙的切线，为切点，是⊙的割线，与⊙交于，两点，圆心在的内部，点是的中点．〔1〕证明，，，四点共圆；〔2〕求的大小．
3、如图，为半圆的直径，、分别为半圆的切线，切点分别为、，的延长线交于，的延长线交于．，为垂足．〔1〕求证：、、、四点共圆；〔2〕求证：．
4、如图，中的两条角平分线和相交于，，在上，且．〔1〕证明：，，，四点共圆； 〔2〕证明：平分．
word文档
word文档
8 / 12
word文档
5、如图，是⊙的直径，是⊙的切线，割线、分别交⊙于、，连接、．
求证：．
6、如图，⊙与⊙相交于、两点，圆心在⊙上，⊙的弦切⊙于点，与其延长线交⊙于，两点，过点作，交的延长线于点．〔1〕求证：、、、四点共圆