重积分概念及其计算法.ppt

重积分概念及其计算法
复习 二重积分的概念
设函数 f (x,y) 在平面有界闭区域D上，
将 D 分成 n 个无公共内点的小区域
每个小区域的面积记作
在每个小区域上取一点
作和式
如果上述和式的极限存在，
点
6
x+y+z=6
3x+y=6
2
x
0
z
y
：平面y=0 ,

z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.
例2 将 化为三次积分，
3x+y=6
3x+2y=12
x+y+z=6
6
6
6
x
0
z
y
4
2
：平面y=0 ,

z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.
例2 将 化为三次积分，
3x+y=6
3x+2y=12
x+y+z=6
6
6
4
2
6
x
0
z
y
：平面y=0 ,

z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.
例2 将 化为三次积分，
z = 0
y = 0
4
2
x+y+z=6
6
6
6
x
0
z
y
：平面y=0 ,

z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.
例2 将 化为三次积分，
4
2
6
6
6
.
D
0
y
x
6
2
4
D
.
x
0
z
y
x+y+z=6
：平面y=0 ,

z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.
例2 将 化为三次积分，
y2=x
x
y
z
o
例3 将 化为三次积分
y2=x
x
y
z
o
例3 将 化为三次积分
例3 将 化为三次积分,
z = 0
y=0
x
y
z
o

。
。
0
y
x
y2=x
D
例4 将 化为三次积分，
1
x+ y=1
y
o
z
x
1
z=xy
.
例4 将 化为三次积分，
z =0
1
x+ y=1
o
z
x
1
y
z=xy
.
例4 将 化为三次积分，
1
1
z =0
o
z
x
x+ y=1
y

z=xy
.
三重积分的截面计算法
即
解
三、三重积分的柱面坐标计算法
0
x
z
y
M(x,y,z)

r
N(x,y,0)
x
y
z
设点 M(x, y, z) 是空间任一点，
.
故点 M
(x, y, z)
且有：
r

由图可知直角坐标与柱面坐标的关系：
柱面坐标，记作
可以证明柱面坐标系下的体积元素为：
圆柱面；
半平面；
平 面．
由前面的讨论可知：
在柱面坐标系下三重积分可表示为
解
1
0
x
z
y
Dxy
1
解
0
x
z
y
1
Dxy