点到平面的距离地若干典型求法.doc

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点到平面距离的假如干典型求法
目录
引言………………………………………………………………………………………1
预备知识 …………………………………………………………………………/ 18
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由线面垂直的判定定理知道平面
平面
又由的作法知道，且有，
平面，平面
由线面垂直的判定定理知道平面
根据点到平面距离定义，的长度即为点到平面的距离，下面求的长度。
中，容易得到，从而为正三角形，。
进而在中，。
由得到
从而到平面的距离为。
转化法求点到平面距离
有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。
转化法依据主要有以下两点：
(1)假如直线平面，如此直线上所有点到平面的距离均相等。
(2)假如直线与平面交于点，如此点、到平面的距离之比为。特别地，当为中点时，、到平面的距离相等。
下面用转化法重解上面例题
解法二(转化法)
如图6所示，连结、、、、，交于点，连结交于点，延长至点使得，连结。
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图6
平面
从而斜线在平面的射影为
、为正方形对角线
，
由三垂线定理知道
同理可以得到
又，平面，平面
平面
平面，即点为在平面的射影，的长度为所求
即，且
四边形为平行四边形
在由等比性质有
而在正方体中对角线
在本例中，未直接计算垂线段的长度，而是找出了其与正方体中对角线的数量关系，从而转化为求正方体对角线长度，而长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据(2)类似，都是寻求所要求的垂线段与某一或易求线段的数量关系，从而简化计算。
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求点到平面距离
用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式求出点到平面的距离。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，如此可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解上面例子.
解法三(等体积法):如图7所示，作垂直于平面于点，如此长度为所求。对于四面体，易见底面的高为，底面的高为。对四面体的体积而言有：
图7
即有:
也即:
由，从而为正三角形，，进而可求得
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又易计算得到的面积为
所以
我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。
如图8所示，为二面角的的棱，为二面角的一个平面角。下面考虑点到平面的距离。作，垂足为，下面证明平面。
图8
为二面角的一个平面角
、
又
平面
又平面
又，，平面，平面
平面
在中，有
①
这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。从而如果能将点与平面置于一个二面角中，如此可利用通过所给点关于平面的一条斜线与二面角计算点与平面间的距离。
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下面利用二面角法求解上面例子。
解法四(二面角法):如图9所示，连结、，与相交于点，连结。
与为正方形的对角线
〔即〕，为中点
图9
又中
为二面角的平面角
设到平面的距离为，是过点的关于平面的一条斜线，又上面得到的公式 ①有
易见，平面，从而在中有
从而点到平面的距离为
向量法求点到平面的距离主要是依据如下结论: 点到平面的距离等于这个与平面上任一点所连接的向量与该平面法向量方向上的单位向量数量积的绝对值。
证明:如图10所示，为平面外一点，为平面上任意一点，平面于点，
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为平面的单位法向量。
图10
即
②
这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的任意斜线上的起点和终点分别在所给点与所给平面上一点的向量与平面法单位法向量的内积。
下面用向量法从新求解上面例