天一专升本高数知识点.doc

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取得极值的充分条件
第一充分条件：
设在点的某空心邻域可导，且在处连续，那么
如果时，; ,那么在处取得极大值；
如果时，；，那么在处取得极小值；
如果在点的两侧，同号，那么在处没有取得极值；
记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。
第二充分条件：
设函数在点的某邻域具有一阶、二阶导数，且，
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那么 〔1〕如果，那么在处取得极大值；
〔2〕如果，那么在处取得极小值
凹凸性的判定
设函数在具有二阶导数，〔1〕如果，那么曲线在凹的；〔2〕如果，那么在凸的。
图像表现：
凹的表现 凸的表现
渐近线的概念
曲线在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。
水平渐近线：假设,那么有水平渐近线
(2) 垂直渐近线：假设存在点，，那么有垂直渐近线
求斜渐近线：假设，那么为其斜渐近线。
洛必达法那么
遇到"〞 、"〞，就分子分母分别求导，直至求出极限。
如果遇到幂指函数，需用把函数变成"〞 、"〞。
第二讲 导数与微分
导数的定义
〔1〕、
〔2〕、
〔3〕、
注：使用时务必保证后面和分母保持一致，不一致就拼凑。
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导数几何意义：在处切线斜率
法线表示垂直于切线，法线斜率与乘积为—1
导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。
求导方法总结
〔1〕、导数的四那么运算法那么
〔2〕、复合函数求导：
是由与复合而成，那么
〔3〕、隐函数求导
对于，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。
〔4〕、参数方程求导
设确定一可导函数，那么
(5) 、对数求导法
先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导
〔6〕、幂指函数求导
幂指函数，利用公式
然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。
第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导
注：优选选择第二种方法。
高阶导数
对函数屡次求导，直至求出。
微分
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记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加，不需要单独记忆。
可微、可导、连续之间的关系
可微可导
可导连续，但连续不一定可导
可导与连续的区别。
脑海里记忆两幅图
〔1〕 〔2〕
在x=0既连续又可导。 在x=0只连续但不可导。
所以可导比连续的要求更高。
第四讲 不定积分
原函数与不定积分
原函数：假设，那么为的一个原函数；
不定积分：的所有原函数+C叫做的不定积分，记作
不定积分公式
记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式
三、不定积分的重要性质
1、
2、
注：求导与求不定积分互为逆运算。
积分方法
根本积分公式
第一换元积分法〔凑微分法〕
把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。
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第二换元积分法
三角代换
三角代换主要使用两个三角公式：
分部积分法
第五讲 定积分
1、定积分定义
如果在上连续，那么在上