空间向量知识点.doc

空间向量与立体几何知识点 1、空间向量的加法和减法: ?? 1 求两个向量和的运算称为向量的加法:在空间以同一点?为起点的两个已知向量 a ?、b ?为邻边作平行四边形 C ???,则以?起点的对角线 C?????就是 a ?与b ?的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则. ?? 2 求两个向量差的运算称为向量的减法,:在空间任取一点?,作 a ????????,b ????????,则 a b ??????????. 2、实数?与空间向量 a ?的乘积 a??是一个向量,??时,a??与a ?方向相同;当0??时,a??与a ?方向相反;当0??时,a??为零向量,记为 0 ?.a??的长度是 a ?的长度的?倍. 3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线. 4、向量共线充要条件:对于空间任意两个向量 a ?,?? 0 b b ?? ?, // a b ??的充要条件是存在实数?, 使 a b ????. 5、平行于同一个平面的向量称为共面向量. 6 、向量共面定理:空间一点?位于平面 C ??内的充要条件是存在有序实数对 x ,y ,使 x y C ??????????? ????????;或对空间任一定点?,有 x y C ??????????????????????????;或若四点?,?,?, C 共面,则?? 1 x y z C x y z ????????????????? ????????????. 7、已知两个非零向量 a ?和b ?,在空间任取一点?,作a ????????,b ????????,则????称为向量 a ?, b ?的夹角,记作, a b ? ???.两个向量夹角的取值范围是: ??, 0, a b ?? ????. 8、对于两个非零向量 a ?和b ?,若,2 a b ?? ????,则向量 a ?,b ?互相垂直,记作 a b ???. 9 、已知两个非零向量 a ?和b ?,则 cos , a b a b ? ?? ?? ?称为 a ?,b ?的数量积,记作 a b ???.即 cos , a b a b a b ? ? ??? ??? ??.零向量与任何向量的数量积为 0 . 10、 a b ???等于 a ?的长度 a ?与b ?在a ?的方向上的投影 cos , b a b ? ?? ??的乘积. 11、若 a ?,b ?为非零向量, e ?为单位向量,则有?? 1 cos , e a a e a a e ? ?????? ??????; ?? 20 a b a b ? ???? ?? ?;?? 3???? a b a b a b a b a b ??? ?????? ?? ???? ?? ?与同向与反向, 2 a a a ? ?? ??, a a a ? ?? ??; ?? 4 cos , a b a