高等数学同济版第一章PPT课件.ppt

高等数学
主讲人：张晓平教授
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2021
数学——研究数和空间图形及其相互关系的科学
数学
不仅是一种工具,
数学
而且是一种思维模式;
不仅是一种知识,
而且是一种素养;
不仅是一种科学,
而且是一种文化;
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2. 函数的单调性
设 f (x) 的定义域为 D，
区间I  D ,
对于 I 上任意两点
若恒有 f (x1) < f (x2) ,
则称 f (x) 在 I 内单调增加 ;
则称 f (x) 在 I 内单调减少 .
若恒有 f (x1) > f (x2) ,
单调增加或单调减少的函数统称为单调函数 .
图象：
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3. 函数的奇偶性
设f (x)的定义域 D 关于原点对称
（即x D， x D），
偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.
若恒有 ，
则称f (x) 在 D 内为偶函数 .
若恒有 ，
则称 f (x) 在 D 内为奇函数 ;
说明 若
在 x = 0 有定义 ,
为奇函数时,
则当
必有
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例如,
偶函数
双曲余弦
记
又如,
奇函数
双曲正弦
记
P13 ：
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再如,
奇函数
双曲正切
记
说明 给定
则
偶函数
奇函数
P11 例11
自学：P11 函数的运算
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4. 函数的周期性
都有(x l) D，
且 f (x l) = f (x) 恒成立，
则称 f (x)为周期函数，
设 f (x)的定义域为 D，
如果存在 l≠ 0,
使得对于任意 xD,
l 称为 f (x) 的周期.
通常，周期是指最小正周期.
周期为 
周期为
注 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如 常量函数
狄利克雷函数
x 为有理数
x 为无理数
目录
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1. 反函数的概念
若函数
为单射,
则存在逆映射称此映射
为 f 的反函数 .
其反函数
(减)
(减) .
(1) y＝f (x) 单调递增
且也单调递增
2. 反函数的性质
四、反函数
相对而言，y = f (x) 称为直接函数.
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(2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
例如 ,
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增,
其图形关于直线
对称 .
指数函数
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考虑正弦函数、余弦函数:
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得到反正弦函数、反余弦函数:
反三角函数都是多值函数，可选取其单值支作为主值.
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考虑正切函数:
得到反正切函数:
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考虑余切函数:
得到反余切函数:
目录
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则
设有函数链
称为由①, ②确定的复合函数 ,
①
②
u称为中间变量.
注意 构成复合函数的条件
不可少.
例如, 函数链 :
可定义复合函数
五、复合函数
但函数链
不能构成复合函数 .
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两个以上函数也可构成复合函数.
例如,
可定义复合函数:
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域,
默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
目录
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六、 初等函数
1. 基本初等函数
幂函数、
指数函数、
对数函数、
三角函数、
反三角函数
2. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
经过有限次四则运算和复合步骤所
构成 ,
称为初等函数 .
可表为
故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P13 – P15 )
如
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设函数
x 换为 f (x)
例6
解
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例7 求
的反函数及其定义域.
解
当
时,
则
当
时,
则
当
时,
则
反函数
定义域为
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内容小结
1. 映射的概念
定义域
对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性
4. 初等函数的结构
2. 函数的定义及函数的二要素
第一章第一节
作业：1~6
结束
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且