小波分析报告和Bootstrap(会议稿子1).doc

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第10组实验经济学与其他分支学科
小波分析和Bootstrap抽样相结合的VaR估计
戈婷，周璇，唐伟伟，邹诗锋，杨寿渊
〔某某财经大学，信息管理学院，某某省，某某市，330013〕
(9)
利用公式〔7〕可以将输入信号分解为具有不同时间尺度的成分。在实际计算时，输入信号是离散的，而且长度是有限的，在作小波分解时作为输入的尺度系数可近似地用信号的采样值代替，设原信号由个采样值构成〔即长度为〕，经过一级小波分解后得到和，分别对应原信号的细节和近似成分，近似信号是原始信号变化不大且表现相对平稳的局部，而细节信号是原始信号剧烈上下变动的局部。如果需要对做两级小波分解，如此只需对近似成分再做一次〔一级〕小波分解，得到和，如此下去，如果将原信号作级小波分解，那么最终得到个不同尺度的细节成分和一个近似成分。由于每次分解得到的细节信号和近似信号的长度都近似等于原始信号长度的一半，因此对于长度为()的一个原始信号，最大分解级数为。
小波分析方法的VaR估计
采用小波分析的方法估计VaR，主要依据是小波变换的能量守恒的特性[7]。股票收益率序列是一种特殊的信号，由于收益率的均值近似为零，收益率序列变动剧烈程度可以用信号的能量来反映，而信号经过小波变换可以得到近似系数和细节系数，因此收益率信号的能量可以由近似系数和细节系数的能量来度量。设离散信号经级小波分解后得到细节成分和一个近似成分，如此：
(10)
其中表示欧氏X数，表示细节成分的能量。由于每一层细节系数的均值为零，所以。对于特定的第层细节系数的能量占收益率序列总能量的比例即相对能量为
， (11)
将所有层的相对能量相加，可得到总的相对能量，即收益率序列中剧烈波动局部含有的能量总和：
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， (12)
其中代表各层相对能量的权重，在此设为1。
小波变换能够计算出收益率序列剧烈波动的比例(相对能量)，为了找出原始收益率序列中偏离趋势的剧烈波动局部，我们可以利用相对能量乘以原始收益率序列的标准差，即可得到调整后的标准差，而这就是原始收益率序列中偏离趋势的剧烈波动局部，用标准差可表示为
(13)
利用调整后的标准差，代入正态分布条件下的VaR的计算公式，得
(14)
其中为股票的初始值，为指定置信水平下标准正态分布的分位数，为股票的持有期间。
Bootstrap方法估计的分位数根本步骤
设分布未知，是来自总体的的独立同分布样本，为总体分布的密度函数，为其分位数，为样本分位数， 那么当时：，其中表示依分布收敛。由于未知，不能直接计算的方差。当在大样本条件下，满足渐近正态分布，可以用非参数方法中的核密度估计方法得到，当样本数据量较少时，得到的结果不会很准确。本文采用一种非参数估计方法——Bootstrap抽样估计方法来解决小样本问题[8-10]。Bootstrap方法估计的分位数的根本步骤为：
1) 由总体的一次观测样本构造经验分布函数；
2) 从中抽样，就是从原始样本中每次随机地有放回地抽取一个个体，如此得到一个容量为的样本，我们称之为一个Bootstrap子样，并有；
3) 重复步骤〔2〕，抽取个Bootstrap子样，记第个子样的的分位数为，；
4) 计算统计量：；；；
假定相应的经验分布函数为，当和趋于无穷大时， 和的分布非常接近，因此可以用
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作为的一个估计，由简单的分布理论，可以得到近似服从，由此可见得到分位点的点估计和区间估计。如果的频数分布偏离正态分布非常严重，可以用的中位数作为分位点的点估计，%分位数作为其95%区间估计。
小波分析和Bootstrap相结合的VaR估计 (WB法)
由于Bootstrap抽样方法适合于小样本条件下的分位数估计，而小波变换可以将收益率信号分解为具有不同时间尺度的成分，我们将Bootstrap抽样方法与小波分析方法结合，得到了一种新的估计股票VaR的方法。我们先对收益率序列选用某种小波函作离散小波分解，设分解级数为，如此得到个高频成分和1个低频成分，然后分别对这个成分的系数做Bootstrap抽样，估计出我们感兴