相似矩阵课后微改.ppt

相似矩阵课后微改
第1页，本讲稿共28页
讲座通知
12月15日(本周二)晚上6:30在教三205举办几何与代数讲座，欢迎参加 .
上机时间地点通知
(本周六) 下午2:00到3:30
五楼一到四号机房
题目本周四~B, f是一个多项式, 则f(A)~ f(B).
证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则
P 1f(A)P
= anP 1AnP+…+a1p 1AP+a0 P 1EP
= an(P 1AP)n+…+a1P 1AP+a0E
= P 1(anAn+…+a1A+a0E)P
= anBn+…+a1B+a0E
= f(B).
§ 相似矩阵
第5章 特征值与特征向量
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例1. 若先将n阶矩阵A的第i行第j行对换，
再将第i列第j列对换得到矩阵B，证明:
A与B相似.
A
P(i, j) A
P(i, j) A P(i, j)=B
注意： P(i, j)-1 = P(i, j)
§ 相似矩阵
第5章 特征值与特征向量
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. 设n阶方阵A与B相似, 则有相同的特
征多项式.(从而有相同的特征值,迹和行列式.)
事实上, 设P –1AP = B, 则
|E–A| = |P–1|·|P|·|E–A|
= |P–1|·|E–A|·|P|
= | P–1 (E–A) P |
= |E–B|.
§ 相似矩阵
第5章 特征值与特征向量
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注: 特征多项式相同的矩阵未必相似.
例如
A =
1
0
1
1
,
B =
1
0
0
1
,
它们的特征多项式都是(1)2.
但是若有P –1AP = B, 则A = PBP –1 = E.
矛盾!
上述反例也告诉我们，已知两个矩阵的特征值相同，或迹相同，或行列式相同，并不能得到它们是相似的.
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二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件
. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条
件是A有n个线性无关的特征向量.
，如果A相似于对角矩阵
那么任意调整的主对角元素，所得新的对角矩阵与A也是相似的.
1 0  0
0 2  0
   
0 0  n
=
§ 相似矩阵
第5章 特征值与特征向量
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. 假设η1 , η2 , , ηs是n阶方阵A的属
于不同特征值  1 ,  2,  , s 的特征向量, 则
η1 , η2 , , ηs 线性无关.
. 若n阶方阵A有n个互不相同的特征值,
则A与对角矩阵相似.
注：！
§ 相似矩阵
第5章 特征值与特征向量
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. 假设值  1 ,  2,  , s是n阶方阵A的
互不相同的特征值, ηi1 , ηi2 , , ηi 是A相应
于特征值 i的线性无关的特征向量, 则向量组
η11 , η12 , , η1 ,
η21 , η22 , , η2 ,
,
ηs1 , ηs2 , , ηs
线性无关.
ti
ts
t2
t1
对应 1
对应 2
对应 s
注：对于特征值i ，其对应的线性无关特征向量的最大个数是ti . 称之为i的几何重数.
§ 相似矩阵
第5章 特征值与特征向量
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. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条
件是A的每个k重特征值0有k个线性
无关的特征向量, 即 nr(A-0E) = k.
特征值0的重数k称为0的代数重数
’. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条