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重积分应用
第1页，本讲稿共30页
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
对区域具有可加性
从定积分定义出发 建立积分式
用微元分析法 (元素法)
分布在有界闭域上的整体量
3. 解题要点
画出积分域有连续密度函数
则
公式 ,
分别位于
为
为
即:
采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心
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第10页，本讲稿共30页
将  分成 n 小块,
将第 k 块看作质量集中于点
例如,
令各小区域的最大直径
系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.
的质点,
即得
此质点
在第 k 块上任取一点
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同理可得
则得形心坐标：
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若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,
(A 为 D 的面积)
得D 的形心坐标:
则它的质心坐标为
其面密度
— 对 x 轴的
静矩
— 对 y 轴的
静矩
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例4. 求位于两圆
和
的质心.
解: 利用对称性可知
而
之间均匀薄片
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例5. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线
的方程为
内储有高为 h 的均质钢液,
解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，
采用柱坐标, 则炉壁方程为
因此
故
自重, 求它的质心.
若炉
不计炉体的
其坐标为
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四、物体的转动惯量
设物体占有空间区域  , 有连续分布的密度函数
该物体位于(x , y , z) 处的微元
因此物体 对 z 轴 的转动惯量:
对 z 轴的转动惯量为
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,
故
连续体的转动惯量可用积分计算.
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类似可得:
对 x 轴的转动惯量
对 y 轴的转动惯量
对原点的转动惯量
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如果物体是平面薄片,
面密度为
则转动惯量的表达式是二重积分.
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a 的均匀半圆薄片对其直径
解: 建立坐标系如图,
半圆薄片的质量
的转动惯量.
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解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,
则
球体的质量
l 的转动惯量.
设球
所占域为
(用球坐标)
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G 为引力常数
五、物体的引力
设物体占有空间区域 ,
物体对位于原点的单位质量质点的引力
利用元素法,
在上积分即得各引力分量:
其密度函数
引力元素在三坐标轴上的投影分别为
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对 xoy 面上的平面薄片D ,
它对原点处的单位质量质点
的引力分量为
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例8.
设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片
求它对位于点
解: 由对称性知引力
处的单位质量质点的引力.
。
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例9. 求半径 R 的均匀球
对位于
的单位质量质点的引力.
解: 利用对称性知引力分量
点
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为球的质量
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作业
P175 1，3，6, 11
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