牛顿插值公式.ppt

5 重节点差商
定义5 (重节点差商)
若 ,
?
则定义
类似的有
分析：
(2)首先,由定义
泰勒展开式
第一页，共15页。5 重节点差商
定义5 (重节点差商)
若 ,
?
则定义
类似的有
分析：
(2)首先,由定义
泰勒展开式
第一页，共15页。
(2)首先,由定义
泰勒展开式
证明：
第二页，共15页。
第三页，共15页。
给定
的函数表
并记
§5 差分，等距节点插值多项式
差分及性质
且
即
1、差分
（1）记号
— 向前差分算子；
在
称为
点的步长为h的一阶向前差分
— 中心差分算子.
定义6
— 向后差分算子；
—二阶向前差分；
—二阶向后差分；
若
—二阶中心差分；
、向后、中心差分.
分别
第四页，共15页。
(3) 一般地，
— 阶向前差分；
— 阶向后差分；
I — 不变算子（恒等算子）；
（4）设A与B为两算子,
如
，则称算子A与B为相等。记为
若
，则称A为B的逆算子。记为
若
（自己证）
E — 位移算子
第五页，共15页。
2、性质
性质 1
的各阶差分均可用函数值表示。
其中
证明：
用算子二项式定理：
得
即
#
第六页，共15页。
用归纳法可证。
性质 2 差分与差商的关系
令
证明：
当m=1时，
假设当m=k时，有
则
#
自己证
一般地
第七页，共15页。
性质3 差分与导数关系
证明：
性质2
定理7
牛顿向前插值，向后插值公式
函数表
设有
— 被插值点。
（1）当 靠近 (表初或差头)时，
通常取插值节点：
以下推导以 为节点的等距插值公式。
作变换
则
又由
1、公式
自己证
第八页，共15页。
代入()：
（牛顿前插公式或表初公式）：
即得牛顿向前插值公式
系数
系数
系数
系数
第九页，共15页。
作变换
又
则
再由
（牛顿后插公式或表末公式）：
即得牛顿向后插值公式
（2）当 靠近 时，通常取插值节点：
，以下
为插值节点的等距插值公式。
推导以
系数
系数
系数
系数
第十页，共15页。
注：（1）（）、()使用于等距节点。
（2）（）、()的系数分别为 ，
差分表2-7
求解方法见表2-7。
()的系数
()的系数
第十一页，共15页。
说明:节点的取法：取与x尽量接近的节点。注意两点，首先，若
2、计算量
（1）计算差分（计算量忽略不记）；
（2）由前插（后插）公式计算近似值：
（计算步骤）
乘除法次数大约为: +
秦九韶算法
达到了误差要求，则其他一些节点就用不到了，因此，表中的n
可以相当大，牛顿插值公式中的n不一定就是表中的n；另外,表初
式计算。
在公式中的比重是一样的。若x不在表初、表末而在表中间，则有
例4。例4还有另外的选取节点的方法，也可以用牛顿向后插值公
公式中 似乎占有较大比重，而从误差公式的对称性知
第十二页，共15页。
例4 已知 Bessel函数
函数表
试用牛顿向前插值公式计算
近似值。
解：取
各阶差分见表2-8
第十三页，共15页。
表2-8
解：取
各阶差分见表2-8
表2-9
，如表2-9。
利用牛顿向前插值公式（）计算
精确值：
第十四页，共15页。
说明：也可取节点为
利用牛顿向后插值公式（）计算。
本课重点：
6
作业:
(1)理解差分的有关概念及性质。
(2)理解牛顿向前（后）插值公式并会计算较简单的题目。
4
编程:
第十五页，共15页。