六年级奥数100题.doc

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六年级奥数100题
。这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2 阶，那么最后2 个。当第7 次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的6 个棋子中必有2 个与它同色，即出现3 个棋子同一颜色的现象。    同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？如果要求有4 个棋子同一颜色，至少要拿几次？如果要求5 个棋子的颜色一样呢？
6. 5猴摘了一堆桃子。决定睡后再分。过了一段时间，来了一只猴，把桃平均分5份，结果多出了1个，就把多出的1个吃了，拿走其中的一份；又过了一会，来了第二只猴，将桃子重新堆起，平均分成5份，发现也多一个，同样吃了1个，拿走其中的1份，第3，4，5只都是这样，问5只猴至少摘了多少桃子？第5只猴子走后还剩多少个桃子？
【解答】：　　设桃子共有X个，借4个桃成为X+4个。多一个桃就相当于少4个桃。　　5个猴子分别拿了A,B,C,D,E个桃子。因此有：　A=(X+4)/5　　B=4(X+4)/25　　C=16(X+4)/125　　D=64(X+4)/625　　E=256(X+4)/3125　　E为整数，所以X+4=3125K　　当K=1时，X=3121　　因此最少摘了3121个桃子。　　然后容易算出最后至少剩余1020个桃子。
7.
唐老鸭与米老鼠进展一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米。唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原来速度的n×10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是_____次。
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解答
8.
从1至25这25个自然数中，每次取出两个不同的数，使他们的和是4的倍数，共有多少种不同的取法
解答：按除以4的余数分类：
〔4，8，12，16，20，24〕中任取2个：共15
〔2，6，10，14，18，22〕中任取2个：共15
〔1，5，9，13，17，21，25〕和〔3，7，11，15，19，23〕中各取1个：7×6=42
共有15+15+42=72种。
9.
是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？
解答：枚举法通常是对有限种情况进展枚举，但是此题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举就可以了。
    当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以
    〔n2＋n＋2〕÷3余2；
    当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以
    〔n2＋n＋2〕÷3余1；
    当n除以 3余 2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以
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    〔n2＋n＋2〕÷3余2.
    因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，〔n2＋n＋2〕都不能被3整除。
10. 如如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的〔桶口〕弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？
解答：我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图〔如下图〕，由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．
将圆柱面展成平面图形〔上图〕，延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．
因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，　AF2=〔AC+CE〕2+EF2＝〔12＋8〕2＋152＝625=252，解得AF=25．即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．
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11.
甲仓有粮80吨，乙仓有粮120吨，如果把乙仓的一局部粮调入甲仓，使乙仓存粮是甲仓的60％，需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食？
  答案与解析：①甲仓有粮：〔80＋120〕÷〔1＋60％〕=125〔吨〕.②从乙仓调入甲仓粮食：12