三角形四心向量.doc

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三角形的四心与平面向量总结
三角形"四心〞向量形式的充要条件应用
知识点总结
1．O是的重心的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
"欧拉定理〞的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、
证明 按重心定理 G是△ABC的重心
按垂心定理 由此可得 .
补充练面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
= (++2),则点P一定为三角形ABC的 〔 B 〕
〔非重心〕

B取AB边的中点M，则，由= (++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，应选B.
2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式： ＋＝＋＝＋，则Ｏ为的 〔  D  〕
Ａ 外心 Ｂ 心 C 重心 D 垂心
2．△ABC的三个顶点A、B、C及平面一点P满足：，则P为的 〔  C  〕
Ａ 外心 Ｂ 心 C 重心 D 垂心
3．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的〔  C  〕
Ａ 外心 Ｂ 心 C 重心 D 垂心
4．△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
，则P点为三角形的 〔  D  〕
Ａ 外心 Ｂ 心 C 重心 D 垂心
5．△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 〔 B   〕
Ａ 外心 Ｂ 心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的： 〔 B 〕
Ａ 外心 Ｂ 心 C 重心 D 垂心
(+)·=0且·= , 则△ABC为( )

解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又=，∠A=，所以
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△ABC为等边三角形，选D．