空投救灾物资的数学模型及其最优方案.docx

空投救灾物资的数学模型及其最优方案.docx空投救灾物资的数学模型及其最优方案
一 问题背景
某部门要选购一些降落伞，向灾区空投 2000 千克的救灾物
资。降落伞的价格由三部分组成， 其中伞面的费用由半径 r 决定，绳索费用为 4 元
空投救灾物资的数学模型及其最优方案
一 问题背景
某部门要选购一些降落伞，向灾区空投 2000 千克的救灾物
资。降落伞的价格由三部分组成， 其中伞面的费用由半径 r 决定，绳索费用为 4 元 /米，每个伞有 16 根同规格的绳索； 降落伞的固定费用为 200 元。已知空投高度为 500 米，要求降落伞落地时的速度不能超过 20 米/ 秒，救灾物资位于球心正下方球面处。并且降落伞在降落过程中受到空气的阻力， 空气阻力与降落速度和伞面积的乘积成正比（比例系数 k= ）。
要解决的问题： 一是将总的物资进行怎样的分配， 使得物品落地不会破损； 二是选择怎样的购买降落伞的方案， 从而使得这次空投的总费用最少。
二 模型的假设
飞机水平进行空投， 物资一离开飞机， 降落伞就将伞面打开；在投放时只受重力和空气阻力的影响； 每根绳索的承受力为无穷大，并且质量忽略不计；投放的物资可以合理地组合，并且每个降落伞下的物资看成质点；速度的正方向竖直向下。
符号说明： k：阻力系数； f：阻力；a：降落伞的下降加速度；g：重力加速度； v0：开始降落的速度； v：速度； r：伞的半径；
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L：绳索的长度； x：降落伞下降的高度； t：物体下降时间； c：
降落伞的费用； cr：对应半径降落伞伞面的费用； x1， x2，x3，
x4， x5，：分别所需半径为 2， ， 3，，4 的个数； z：使用降落伞的总费用。
三 问题分析
首先明确了投放的高度是 500 米，落地的最大速度是 20 米
秒。这是投放物资是给定的条件。 求出时间、 落地位移、 速度、
加速度与重物的关系， 从而求出每一种规格的最大承载量。 然后，
在每一种规格下按照小于等于最大承受重量进行物资的分配， 从而保证物资在投放时不因落地速度大于 20 米/ 秒，而使物资受损。
明确空投费用是降落伞的总费用， 要使得费用最少， 就得选择购买方案时所花费用最少， 为此将用到优化方法进行求解。 首先，算出每种规格降落伞绳索的长度， 问题给定重物位于球心正下方球面处， 由该条件可处理绳索问题。 然后算出每一种规格的降落伞的总费用，包括三部分：绳索，伞面费用，固定费用。最
后在求出每一种规格降落伞的费用的情况下，运用《运筹学》的知识列出并求解该优化问题。
四 数学模型的建立与求解
因为 v′′0，又 = v ′（m）=0 ，所以 v（m）是关于 m 的单调增函数，同理可知， v 是关于 m 的单调增函数。因此，当 v 最大时，降落伞的最