复合函数地单调性.doc

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函数的值域与函数的单调性
我们将复习函数的值域与函数的单调性两局部内容．
通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义(x)-g(x)是增函数；〔4〕g(x)-f(x)是减函数．但当两个单调函数之间的运算符号为“x〞、“÷〞时，如此不具有这种规律．
〔五〕根本不等式法
这种方法是利用如下的“根本不等式〞和与“复数的模〞有关的不等式求函数值域．

例12．
解：
例13．
解：
∵y≥0

例14．
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解：
又y是x的连续函数
〔六〕利用原函数的反函数
如果一个函数的反函数存在，那么反函数的定义域就是原函数的值域．
例15．
解 y·10x+y·10-x=10x-10-x
即y·102x+y=102x-1
∴1+y=(1-y)·102x

〔七〕利用函数的值域
例16．
解 利用三角函数的值域来求值域，把函数式去分母变形得：ycosx-sinx=1-3y
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〔八〕图象法
例17．
解：
由图象知：值域为y≥3
〔九〕利用导数求值域
此种方法在本学期学习导数的应用时已作了详尽的阐述，这里就不再多说了．
二．函数的单调性
〔一〕函数单调性的判定
1．利用函数的单调性
例1 假如y=(2k+1)x+b是R上的减函数，如此有〔 〕

解：选D
说明：函数y=kx+b，当k>0时是增函数；k=0时是常函数；k<0时是减函数．
例2．
减区间是__________________．
解：
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减区间是〔-∞,-1〕和〔-1,+∞〕．
说明：函数的两个单调区间之间可以用“，〞或“和〞字连接，而不能用符号“∪〞连
例3 函数f(x)=4x2-mx+5，当x∈(-2,+∞)时是增函数，如此m的取值X围是_________；当x∈(-2,+∞)时是增函数，当x∈(-∞,-2)时是减函数，如此f(1)=________________.
解：

∴m=-16
∴f(1)=4+16+5=25
2．利用定义判定或证明函数的单调性
例4 根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x3+1在R上是减函数．
证明 在〔-∞,+∞〕上任取x1、x2，且x1<x2，如此
f(x2)-f(x1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)
∵x1<x2 ∴x1-x2<0
当x1x2<0时，有x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2>0
当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22>0
∴f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0
即f(x2)<f(x1)
所以函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数
说明
-f(x1)的符号；同学们也不妨应用导数的知识来解决此题．
〔2〕用定义证明或判断函数的单调性，要注意步骤清晰，讨论严密．
例5．
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解 〔1〕i〕设x1，x2∈〔0，1]，且x1<x2，

∵x1-x2<0, 0<x1x2<1
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)

ii〕设x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2



∴由(1)中讨论可知y当x≥0时单调递增，当x=0时，
∴当x=0时，y有最小值
说明
(2)中函数最值不能用根本不等式求，因为不存在使的x；同理可证：
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3．利用图象讨论函数的单调性
例6 作函数f(x)=|x2-1|+x的图象，并根据图象讨论函数的单调性．
解

由图象，

〔二〕复合函数的单调性
例7．
解 ∵-x2-2x+3≥0
∴x