抽象函数的周期性对称性.doc

抽象函数
周期
1. 型 的周期为T。释义:对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。
2. 型 ：。
3. 型 的周期为2a。释义：
例。 设是R上的奇函数，，当时，,则等于（
抽象函数
周期
1. 型 的周期为T。释义:对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。
2. 型 ：。
3. 型 的周期为2a。释义：
例。 设是R上的奇函数，，当时，,则等于（ )
A. 0。5 B. － C。 1。5 D. －1。5
4。 型 的周期为2a。 5。 型 的周期为。
6. 型 的周期为4a。
7. 两线对称型 函数关于直线、对称,则的周期为。
8。 一线一点对称型 函数关于直线及点（b,0)对称，则的周期为。.
9. 两点对称型 函数关于点（a，0）、(b，0)对称，则的周期为。
例题
1．函数是定义在上的实函数，它既关于对称，又关于对称,那么的周期是（ ）
（A) （B) (C） （D)
5．已知函数是定义在上的偶函数，且满足,当时，
，则 ．
二、函数的对称性
1、函数满足时,函数的图象关于直线对称。
证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1)关于直线的对称点（，y1），当时，，故点（，y1)(x1，y1）是图象上任意一点,因此，函数的图象关于直线对称.（注:特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）
2、函数满足时,函数的图象关于点（，）对称。
证明：在函数上任取一点(x1，y1）,则，点(x1，y1）关于点 （，）的对称点（，c－y1）,当时, ，即点(，c－y1）在函数的图象上。由于点（x1，y1）为函数图象上的任意一点可知,函数的图象关于点（，)对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）
3、函数的图象与的图象关于直线对称。
证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1,y1）关于直线对称点(，y1)。由于,故点（，y1）在函数上。由点(x1,y1）是函数图象上任一点，因此与关于直线对称。
三、对称性和周期性之间的联系
1、函数有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。
已知：函数满足，（a≠b）,求证:函数是周期函数。证明：∵得得∴
∴∴函数是周期函数，且是一个周期。
2、函数满足和（a≠b）时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b,）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。)
证明：由 得得 ∴函数是以2b－2a为周期的函数.
3、函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴）（a≠b)时，该函数也是周期函数,且一个周期是。
例题 已知函数的定义域为，并对一切实数，都满足．若又是偶函数,且时,，求时的的表达式
四、知识运用
例1、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2）=－f(x），则,f（6）的