数学期望的计算方法和应用.doc

word
word
2 / 15
word
数学期望的计算方法与其应用
摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比拟集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对的不同取值，条件期望的取值也在变化，因此我们可以把看作一个随机变量。重期望的公式是,此公式的前提是存在。如果是一个离散随机变量，如此重期望公式可改写成为
例7 口袋中有编码为的个球，从中任取一球，假设取到1号球，如此得1分，且停止摸球；假设取得号球，如此得分，且将此球放回，重新摸球。如此下去，试求得到的平均总分数。
解 记为得到的总分数，为第一次取到的球的，如此
又因为，而当时， 所以
由此解得
第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法与应用
连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量的，只要在离散随机变量的数学期望定义中用密度函数代替分布列，用积分是代替和式，即得到连续场合下数学期望的定义。
定义法
设连续随机变量有密度函数，如果积分
word
word
6 / 15
word
有限〔收敛〕，
如此称 为的数学期望。
假设 无限〔不收敛〕，如此说的数学期望不存在。
例8 设随机变量服从均匀分布，求它的数学期望。
解 由于，如此它的密度函数为
如此根据定义它的数学期望为
可见，均匀分布的数学期望位于区间的中点，即均匀分布具有对称性，下一节中我们将介绍利用分布图像的对称性来求数学期望。
例9 密度函数为的分布称为柯西分布。
其数学期望不存在，这是因为积分 无限。
特殊积分法
连续型随机变量的数学期望为，在计算连续型随机变量的数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如基函数在对称区间的积分值为0，还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便。
例10 设随机变量，证明．
证 在的积分表达始终做变换
可得
word
word
7 / 15
word
由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为0，第二个积分恰为，故得．
利用特征函数
特征函数的定义：设是一个随机变量，称 , ，为的特征函数，设连续随机变量有密度函数，如此的特征函数为
根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：求出数学期望，即．
例11 设随机变量，求．
解 因为随机变量，如此的特征函数为
其一阶导数为
如此
由特征函数的性质得
注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。
逐项微分法
这种方法同样适用于密度函数中含有参数的连续型随机变量分布，也是对两边对参数求导数来解出数学期望。
例12 设随机变量服从指数分布即，求
word
word
8 / 15
word
解 因为，如此的密度函数
如此由， 得
对两边关于参数求导得
从而解得
条件数学期望公式
在连续型随机变量场合下，条件数学期望同样适用，其计算公式为
例13 设二维随机变量的联合密度函数为
试在．
解 由题意知，
word
word
9 / 15
word
利用重期望公式
在是一个连续随机变量时，重期望公式可改写成为．
例14 设电力公司每月可以供给某工厂的电力服从上的均匀分布，而该工厂每月实际需要的电力服从上的均匀分布。如果工厂能从电力公司得到足够的电力，如此每电可以创造30万元的利润，假设工厂得不到足够的电力，如此不足局部由工厂通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每获利10万元，失球该厂每个月的平均利润。
解 从题意知，每月供给电力,而工厂实际需要电力。假设设工厂每月的利润为万元，如此按题意可得
在给定时，仅是的函数，于是当时，的条件期望为
当时，的条件期望为
然后用的分布对条件期望再作一次平均，即得
word
word
10 / 15
word
所以该厂每月的平均利润为433万元．
第三节 随机变量数学期望的计算技巧
利用数学期望的性质，化整为零
当一个随机变量的分布列较为复杂时，假设直接求它的数学期望会很困难，我们可以通过将它转化成比拟常见的简单的随机变量之和来解决。主要是利用数学期望的性质来时问题简单化。
例15 设一袋中装有只颜色各不一样的球，每次从中任取一只，有放回地摸取次，以表示在次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求
解 直接写出的分布列较为困难，