大学高等数学 函数 ppt课件.ppt

高等数学Ⅲ
姓 名：张智勇
地 点：四教西305室
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你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂函数的基本特性
奇函数
y
x
o
x
-x
例 判断下列函数的奇偶性：
解：(1)
∵函数的定义域为(－∞, +∞), 且
= -f (x)
∴f (x)是奇函数.
2、函数的周期性
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期或基本周期）.
说明：
（1）周期函数的图形在每一个周期长度的区间上有相同的形状；
（2）并非每个周期函数都有基本周期.
例如，函数 f(x) = C是周期函数，但它没有基本周期；
例：设函数 f (x) 是周期为T 的周期函数，试求函
数 f (ax+b) 的周期，其中a，b为常数，且 a > 0.
3、函数的单调性
x
y
o
x
y
o
M
－M
y
x
o
y=f(x)
X
有界
无界
M
－M
y
x
o
X
4、函数的有界性
设 f (x)在集合D内有定义, 若存在正数M, 使得对每一个 , 都有 成立, 则称函数 f (x)在D内有界, 或称 f ( x)是D内的有界函数; 否则, 称 f (x)在D内无界,或称 f (x)是D内的无界函数.
设 f (x)在集合D内有定义, 若存在数A(或B), 使得对每一个 , 都有 (或 )成立, 则称函数 f (x)在D内有上界(或有下界), 也称函数 f (x)是D内有上界(或有下界)的函数.
例如, 函数 y = sin x在(－∞,+∞)内有界, 而函数 y = x2在 (－∞,+∞)内有下界但无上界,故 y = x2 在 (－∞,+∞) y = x2 在[－1,1]上是有界函数.
结论： 函数 f (x)在D内有界的充要条件是函数 f (x)在D内既有上界又有下界;
复合函数与反函数
一、复合函数
1、定义：设函数
y = f (u), u∈D( f ), y∈Z( f )
u = g (x), x∈D( g ), u∈Z( g )
若D( f ) ∩Z( g ) ≠Φ(空集), 则称函数
为由函数 y = f (u) 和 u = g (x) 复合而成的复合函数. 其中y 称为因变量, x 称为自变量, 而 u 称为复合函数 y = f [ g(x)] 的定义域.
例 讨论下列各组函数可否复合成复合函数, 若可以, 求出复合函数及其定义域.
注意:
;
.
2、函数值以及函数表达式的求法
例 设 , 求 .
解：
例 设 , 求 .
解：
令
则
即
二、 反函数
D
W
D
W
设函数 f (x) 的定义域为D( f )，值域为Z( f )，若对每一个y∈Z( f ) ，都有唯一确定的x∈D( f )与之对应且满足y = f (x)，则x是定义在Z( f )上以y为自变量的函数， 记作
x = f －1( y )， y∈ Z( f ) ， 并称其为反函数作
说明.(1)原函数与反函数的图形关于直线y = x 对称；
(2)函数y = f ( x )具有反函数充要条件它是一一对应的；
.
(3) 定义域、值域相反对应法则互逆.
(4) 反函数的求法
三、函数的运算
的下列运算：
函数的和（差）
函数的积
函数的商
(C为常数)
图形是一条平行于x 轴的直线
其定义域为D( f )＝(－∞,+∞), 值域为Z( f )＝{C}.
(constant funct