球的切接问题专题.doc

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专题：球的切接问题
一．知识点
正方体的切球：球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为,球半径为。
如图1,截面图为正方形的切圆,得；
2与正方体各棱相切的球R的球的外切圆柱<球与圆柱的侧面、两底面都相切>的表面积为________,体积为________．
[解析]　外切圆柱的底面半径为R,高为2R,∴S表＝S侧＋2S底＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2,
V圆柱＝πR2·2R＝2πR3.[答案]　6πR2；2πR3
例2、已知A、B、C、D是球O面上的四个点,OA、OB、OC两两垂直,且OA＝1,OB＝2,OC＝3,求球的体积与表面积。
分析：通过将三棱锥补成长方体。这种方法叫作补形法。
解：将三棱锥补成长方体,设外接球的半径为r,则,解得,所以球 的表面积S=
变式训练：
如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AC=,则三棱锥P-ABC的外接球的体积为
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A. B. C. ：：补成长方体得解.
例3：把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离．
分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点,则正四面体的高．
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1,且三个球心到桌面的距离都为1,故第四个球的最高点与桌面的距离为．
例4..已知一个三棱锥的三视图如图2所示,
其中俯视图是顶角为的等腰三角形,
则该三棱锥的外接球体积为．
答案：.寻求球心是关键,模仿圆心确定的方式,来确定球心——
先确定底面的圆心〔球的小圆圆心〕,球心必然在过且垂直于平面ABC的垂线上,如图,,圆的半径可以通过正弦定理得到=2,于是球半径为.
故球体积为.
高考题演练
,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为〔〕
      B．4π          C．    D 6π
﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形,若底面的边长为a,则该正六棱柱的外接球的表面积是〔〕A． 4πa2        B． 5πa2        C．8πa2        D．10πa2
′=1,AB=2,AD=4,则从A点出发,沿长方体的表面到C′的最短矩离是〔〕
A．5      B． 7              C．              D．
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,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为〔   〕                                       
,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为〔　　〕
A． B． C． D．