理论力学(陈世民)答案.doc

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第零章 数学准备
一 泰勒展开式
1 二项式的展开

2 一般函数的展开

特别:时,
3 二元函数的展开(x=y=0处)

评注：以上方法多用于近似处理与平衡态：



则：径向与横向的分量分别为，。
10质点以恒定速率沿一旋轮线运动，旋轮线方程为。证明质点在方向做等加速运动。
解：依题意：
得：
则：
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11 一质点沿着抛物线运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此质点从正焦弦的一端点以速率出发，求质点到达正焦弦的另一端点时的速率。
解：建立自然坐标系有：
且：
积分得：（代入）
又因为：在点处斜率：

在点处斜率：

故：
即：
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12 竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。
解：设空气阻力为，且小球初速为，质量为没，则有：
上升时间：
上升高度：
下落时间：
得：
即得证。
13 质量为的质点自离地面高度处下落。若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为C，试讨论此质点下落过程中的运动状况。
解：设加速度为，速率为，则：
得：积分并代入时有：


知：质点一直在做向下的变加速运动，且加速度越来越小。
14 将一质量为的质点以初速度与水平线成角抛出，此质点受到的空气阻力是其速度的倍，这里是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为角度时所需时间。
解：依牛顿第二运动定律有：
积分并代入初始条件：时：
解得：
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当再次夹角为时：
可解出：
15 一质量为的质点用一长度为的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为。开始时，小环静止质点下垂，处于平衡态。今若沿钢丝的水平方向给质点以大小为的初速度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是时，小环在钢丝上仍不滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是，此时绳中的张力为。
解：依
得：
则：
又因为：
得：
故：
即得证。
16 滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧的一个端点联结，弹簧的另一端挂一质量为的质点，如图所示。当滑轮以匀角速率转动时，质点以匀速率下降。若滑轮突然停止转动，试求弹簧的最大伸长及弹簧中的最大张力。已知弹簧作用力为W时的静止伸长。
解：（注：此题中）设最大伸长为有：
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依能量守恒：
解得：
则：
17 两个相同的轻质弹簧，劲度系数为，自然长度是，在它们中间竖直地串接一质量为的质点。弹簧的另外两端点分别固定于A点和B点，如图所示，A、B间的高度差是。设开始时质点静止于AB的中点，求质点的运动规律。
17解：质点运动时势能
在平衡时：
得:
且运动时受力满足：
代入初始条件:
可解得：
18 两个质量都是的质点A和质点B用一自然长度为的轻质弹簧相连，置于一光滑水平桌面上，如图所示。弹簧的劲度系数为。两质点处于静止状态，弹簧呈自然长度；而后，质点B沿AB方向受到一大小为的恒力作用。分别求处质点A和质点B的运动规律。
18解：依受力分析知
+得：
积分得:
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代入得：
积分得：
同理：
积分得：
式中。
另解：先将AB及弹簧看成一系统，其质心做一受恒力的作用，再将A与B 理解成绕质心做周期性振动，可得A的运动规律为质心运动与A振动的合运动，B亦然。计算亦很简单！
19 一质点从一光滑圆柱表面最高处，自静止下滑，如图所示。问质点滑至何处将脱离圆柱表面？
解：将脱离时滑过相应角度为，此时满足：
可解得：
20 一钢丝弯成尖端朝上的摆线：，上面穿有一质量为的小环。今若小环在钢丝的最低处获得大小为的初速度，开始沿摆线滑动。求出当小环的速度与水平线成角度时，小环的速率。已知小环与钢丝的摩擦系数为。
解：小环运动时，依受力分析知： 其对钢丝的正压力为
又因为：
得：

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代入：
得：
则损失能量：
再依能量守恒：
得：

（其中）
现进行积分：

解出：
代入得：
代