分形物理学.pdf

代数几何原理
PHILLIP GRIFFITHS
JOSEPH HARRIS
Xian Xian 译
警告: 仅限学习研究, 严禁商业目的!
前言
代数几何是数学中最古老和最高度发达的学科。它与射影几何, 复分析, 拓扑, 数论以
及其它目前数学上活跃的领域密切相关。还有, 近年来, 代数几何在风格和语言上都经历
了巨大的变化。由于这些原因, 这个学科得到了“难入门”的说法。本书对理论的某些主要
一般性结果做了介绍, 以及——其实特别强调了——应用于有意义例子的研究和计算工具
的发展。
很多原则指导了本书的酝酿。其一是只讲述对研究具体的几何问题和特殊类型的代数
簇所必须的一般性的方法, 这些是本书的中心。
其二是在一般性理论和研究例子之间应该有一个取舍, 就象目录所说明的一样。代数
几何的主旨为在例子的纷繁复杂和一般性结构的对称性之间提供平衡特别重要; 我们希望
在课题和讲述顺序上反映这个关系。
第三个基本原则是本书应该是自足的。特别是, 任何要利用到的具体结果都将完全证
明。在与代数几何不同的学科中, 学生遇到的困难是大量的交叉引用, 这也是自足化的一
方面原因。类似地, 我们避免暗中提到——或只陈述不证明——有关结果。本书决不是代
数几何的概述, 而是用详细而具体的几何问题来发展一套有效的工具。对本主题, 我们的
方法最初是解析的: 第零和第一章讨论复流形理论的基本方法和结果, 特别强调了可应用
于射影簇的结果。从第二章开始讨论 Riemann 曲面和代数曲线, 接着第四和第六章分别讨
论代数曲面和二次线丛, 沿着经典的路线, 我们逐渐增加几何的内容。第三和第五章继续
讨论解析方法, 推进到复流形中更专门的课题。
几个重要的课题被完全忽略了。最重要的是代数簇的算术理论, 模问题以及奇异性。
在这些方面, 这里没有提供必要的方法。其它课题, 比如单值化, 自同构形式或单值性, 混
合 Hodge 结构也被忽略, 虽然大部分方法这里都有。
致谢略。
PHILLIP GRIFFITH
JOSEPH HARRIS
1978年5月
Cambridge, Massachustts
目录 ii
目录
第零章基础知识 1
1. 多复变初步
Cauchy 公式及应用 1
多复变理论 5
Weierstrass 定理和推论 6
解析簇 11
2. 复流形
复流形 13
子流形和子簇 16
De Rham 和 Dolbeault 上同调 19
复流形上的运算 24
3. 层与上同调
起源: Mittag–Leffler 问题 30
层 31
层上同调 33
De Rham 定理 38
Dolbeault 定理 40
4. 流形的拓扑
闭链的相交 44
Poincar´e 对偶 47
解析闭链的相交 54
5. 矢量丛, 联络和曲率
复矢量丛和全纯矢量丛 58
度量, 联络和曲率 63
6. 紧致复流形上的调和理论
Hodge 定理 71
Hodge 定理的证明 I: 局域理论 75
Hodge 定理的证明: 整体理论 82
Hodge 定理的应用 90
目录 iii
7. K¨ahler 流形
K¨ahler 条件 96
Hodge 恒等式和 Hodge 分解 100
Lefschetz 分解 108
参考文献(中文) 116
第一章复代数簇 117

除子 118
线丛 120
线丛的陈类 126
2. 一些消没定理和推论
Kodaira 消没定理 134
超平面截面上的 Lefschetz 定理 141
定理 B 144
(1, 1) 类上的 Lefschetz 定理 146
3. 代数簇
解析簇和代数簇 149
簇的次数 154
代数簇的切空间 157
4. Kodaira 嵌入定理
线丛和到射影空间的映射 158
胀开 163
Kodaira 定理的证明 169
5. Grassmann 流形
定义 173
胞腔分解 174
Schubert 运算 176
万有丛 185
Pl¨ucker 嵌入 187
目录 iv
第二章Riemann 曲面和代数曲线 191
1. 预备知识
Riemann 曲面的嵌入 191
Riemann–Hurwitz 公式 194
亏格公式 197
g = 0, 1 的情形 199
2. Abel 定理
Abel 定理——第一种描述 202
第一互反定律和推论 205
Abe