高考数学中地内切球和外接球问题(附习题).doc

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高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并轴截面圆，，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，.
五 .确定球心位置法
例5 在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，如此四面体的外接球的体积为
A. B. C. D.
解 设矩形对角线的交点为，如此由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴.
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
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【例题】：三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。
解：且，，，,
因为 所以知
所以 所以可得图形为：
在中斜边为
在中斜边为
取斜边的中点，
在中
在中
所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心
所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1. 〔某某理•6〕一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，如此该正三棱锥的体积是〔 〕
A． B． C． D．
答案B
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2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，假如
,，如此此球的外表积等于。
解:在中,,可得,由正弦定理,可得
外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的外表积为.
3．正三棱柱内接于半径为的球，假如两点的球面距离为，如此正三棱
柱的体积为．
答案 8
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，如此此球的体积为
A． B． C． D．
答案A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，
，如此此球的直径为，应当选A。
，那么正方体的棱长等于〔 〕
B. C. D.
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答案 D
6.〔2006某某卷〕正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶B. 1∶3 C. 1∶3D. 1∶9
答案C
7.〔2008某某、某某理科〕一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，如此这个球的体积为．
答案
8. 〔2007某某理•12〕一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，如此此球的外表积为．
答案
9.〔2007全国Ⅱ理•15〕一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的外表积为cm2.
答案
A
B
C
P
D
E
F
10.〔2006某某〕如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，如此此正六棱
锥的侧面积是________．
答案
11.〔某某省某某一中2009届高三数学上学期第一次月考〕
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棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，假如过该球球心的一个截面如图，如此图中
三角形(正四面体的截面)的面积是.
答案
12.〔2009枣庄一模〕一个几何体的三视图如右图所示，如此该几何体外接球的外表积为〔 〕
A．B．
C．D．以上都不对
答案C
，如此它的外接球的外表积为〔 〕
A． B．2π C．4πD．
答案C
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