数学不等式总结.pdf

不等式
★知识梳理
1、不等式的基本性质
①（对称性） a b  b  a
②（传递性） a b, b  c  a  c 0， m  0 ， n  0)
规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.
， 2 2 或
⑧当a0 时 x  a  x  a  x   a x  a ;
x a  x2  a 2   a  x  a.
a b  a  b  a  b .
⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式
2 a b a2  b 2
1  1 ab   
①平均不等式： a b 2 2 ，（a, b R ，当且仅当 a b 时取
" " 号）.
（即调和平均  几何平均  算术平均  平方平均）.
变形公式：2 2 2
a b  a  b (a b )2
ab    ; a2 b 2  .
2  2 2
②幂平均不等式：
1
a2 a 2 ...  a 2  ( a  a  ...  a ) 2 .
1 2nn 1 2 n
③二维形式的三角不等式：
2 2 2 2 2 2
x1 y 1  x 2  y 2 ( x 1  x 2 )  ( y 1  y 2 ) (x1 , y 1 , x 2 , y 2  R ).
④二维形式的柯西不等式：
2 2 2 2 2
(a b )( c  d )  ( ac  bd ) ( a , b , c , d  R ). 当且仅当 ad bc 时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
2 2 2 2 2 2 2
(a1 a 2  a 3 )( b 1  b 2  b 3 )  ( a 1 b 1  a 2 b 2  a 3 b 3 ) .
⑥一般形式的柯西不等式：
2 2 2 2 2 2 2
(a1 a 2  ...  an )( b 1  b 2  ...  b n ) (a1 b 1  a 2 b 2  ...  an b n ) .
⑦向量形式的柯西不等式：