八等比数列的性质及应用.docx

八等比数列的性质及应用.docx八等比数列的性质及应用
基础练'^=（30分钟60分）
一、选择题（每小题5分，共30分）
•已知等比数列｛an｝中，a3ai3 = 16，贝U a8的值等于（）
A . 4 B . 8 C . ±4 D . ±8
选 1 ,故 an = 211 - i(nEN*).
.在等比数列｛an｝(n§N*)中,ai > 1 ,公比 q> bn = log2an ,且
bi + bs + bs = 6 , bibsbs = 0.
求证:数列｛bn｝是等差数列；
⑵求｛bn｝的前n项和Sn及｛an｝的通项an ；
(3)试比较an与Sn的大小.
⑴因为 bn = Iog2an ,
、 Hn + 1
所以 bn+1 - bn = log2an+1 - log2an = log2
= log2q(q>0)为常数,
所以数列｛bn｝为等差数列且公差d = log2q.
因为 bi + ba + bs = 6 ,
所以(bi + bs) + b3 = 2b3 + b3 = 3b3 = 6 ,即 b3 = 2.
又因为 ai > 1 ,所以 bi = log2ai > 0 ,
又因为 bi-b3-b5 = 0 ,所以 b5 = 0 ,
fbs = 2 , fbi + 2d = 2 , fbi =4 ,
即， 即， 解得，
[bs = 0 , [bi + 4d = 0 , [d = T ,
n ( n - 1 ) 9n - n2
因此Sn = 4n + (-l)———— 二―-.
又因为 d = log2q= - 1 ,所以 q = § , bi =log2ai = 4 ,
即 ai = 16 ,所以 an = 25 - 临 JN*).
⑶由⑵知，an = 25-n>。，
n ( 9 - n )
当 n>9 时,Sn= 2 MO，
所以当n>9时,an> Sn.
又因为 ai = 16 , a2 = 8 , a3 = 4 ,也=2 , a5 = 1 , a6 = ；,
a? = § f a8 = 8 , Si = 4 , S2 = 7 , S3 = 9 , S4= 10 ,
S5 = 10 , S6 = 9 , S7 = 7 , S8 = 4 ,
所以当 n = 3,4,5,6,7,8 时 / an<Sn ；
当 n= 1 , 2 或n>9 , nEN*时,an > Sn.
提升练^=- (35分钟70分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1 .已知数歹U{an}中,ai = 1 , an + i = 2an + 3 ,则 aio = ()
A . 2 045 B . 1 021 C . 1 027 D . 2051
an+i = 2an + 3 ，变形为an + i + X — 2(Hn + Hn + 1 = 2an + X =3 ,
即an +1 + 3 = 2(an + 3),故数列而+ 3｝为等比数列,首项为4,公比 为2.
所以 an + 3 = 4-2n-1 所以 an = 4-2n-1 - 3 = 2n+1 - 3 ,
所以 aw = 2 045.
.若方程x2 - 5x + m = 0与x2 - lOx + n = 0的四个根适当排歹U后,恰 好组成一个首项为［的等比数列，则号的值是()
A . 4 B . 2 C.； D . §
- 5x + m = 0的根, 则m = 4 ,另一根为4 ,设X3 , X4是方程x2 - 10x + n = 0的根,则x3 + X4= 10 ,这四个数的排列顺序只能为1 , X3 , 4 , X4 ,公比为2 , X3 = 2,X4 = 8,n=16,? ；若1 是方程 x2 - 10x + n = 0 的根 , 另
—根为9 ,则n = 9 ,设x2 - 5x + m = 0的两个根为xi , x2 ,则xi + x2 =5 ,无论什么顺序均不合题意.
.已知等比数列｛an｝满足an>0 ,且a5-a2n - 5 = 22n(n>3) ,则当n>3时/ 10g231 + 10g233 + ... + 10g2H2n - 1 等于()
A . 2n B . 2n2 C . n2 D . n
选 + log2a3 + ... + log2a2n-1 = log2(aia3-...-a2n -1) n n n
=Iog2(aia2n -1)2 = Iog2(asa2n - 5)2 = log2(22n)2 = log22n2 = n2.
.等比数歹U｛an｝的各项均为正数/已知向量a = (a4 ,