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微积分论文高等数学论文浅谈微积分中的反例摘要: 本文列举了微积分中常见的典型反例,并论述了反例在微积分教学中的作用: 一方面可以强化概念、揭示概念的内涵, 准确把握概念之间的关系, 透彻理解定理的条件; 另一方面有助于培养学生的逆向思维能力,更有助于培养学生的数学技能。 Abstract : This article lists mon typical counter-examples and discusses the role of counter-examples in Calculus Teaching. On the one hand , the counter-examples can strengthen the concept and reveal connotation of the concept , it make student exactly grasp the relationship between the concepts , thoroughly understand the conditions of theorem. On the other hand it trains students reverse thinking , what is more it helps to develop the math skills of students. 关键词: 反例;微积分;函数;微分;积分 Key words : counter-examples; Calculus; function; Differential; Integral 0 引言用命题形式给出的一个数学问题, 要判断它是错误的, 利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证, 就足以否定这个命题, 这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发, 可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。在微积分中存在大量的反例, 其意义远远超过了它的具体内容, 除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外,还促进了学生的辨证思维方式的形成。 1 连续、可导、可微问题微积分中对于无穷大与无界、极大(小) 值与最大(小) 值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系, 可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。情形 1 若函数 f( x )在 a 连续, 则函数 f( x )在 a 也连续,但其逆命题不成立。反例:函数 f( x) =1 , x?叟 0-1 , x<0 , 虽然 f( x) =1在 x=0 处连续, 但 f( x )在 x=0 处不连续。情形 2 可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数?答:不一定。反例:函数 f( x) =x+1 ,在 x=0 连续,但在 x=0 不可导,事实上, f( x) =x+1=1=f ( 0), 所以 f( x)在 x=0 连续; 但极限==1 或-1 不相等, 所以 f( x )在 x=0 不可导。情形 3 函数 f( x)在 x=x0 处可导, 则函数 f( x)在 x=x0 的邻域内不一定连续。反例:函数 f( x) =x , x 为有理数 0, x 为无理数, 在 x=0 处可导,但在 0 点的任