高等数学微积分 第三章 一元函数导数与微分 ppt课件.ppt

第二章 一元函数导数与微分
导数的概念
导数的计算
高阶导数
几种类型函数的求导方法
函数的微分与线性逼近
导 数 的第二章 一元函数导数与微分
导数的概念
导数的计算
高阶导数
几种类型函数的求导方法
函数的微分与线性逼近
导 数 的 概 念
一. 导数的定义
问题的提出
精品资料
你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
精品资料

割线的极限位置——切线位置

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割线的极限位置——切线位置

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割线的极限位置——切线位置

割线的极限位置——切线位置
的极限位置 ,
2. 瞬时速度
定义 1
导数的几何意义
切线方程为:
法线方程为:
定义 2
（单侧导数，左右导数）
右
右
左
左
定理 1
（双侧导数与单侧导数的关系）
定理 2
（可导与连续的关系）
证
证毕
例如：
右可导
左可导
定理
定义 3
注意:
二. 函数不可导的情况
( 定理 )
例:
0
1
1/π
－1/π
定义 1
注意:
定义 2
例1
解
例2
解
三. 简 单 函 数 的 导 数
例1
导 数 的 计 算
定理 1（四则运算法则）
注意:
证
(2)
证毕
例1
同理可得
同理可得
定理 2（反函数求导法则）
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证
证毕
例2
解
同理可得
定理 3（复合函数求导法则）
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析函数的复合关系 .
证
证毕
推广
例3
解
例4
解
例5
解
同理可得
注意:
初等函数的
导数仍为初
等函数 .
例6
解
高 阶 导 数
一 .高阶导数的概念
定义
记作
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
从高阶导数的定义可以知道，
二. 高阶导数的计算
例1
解
例2
解
注意:
例3
解
例4
解
例5
解
例6
解
例7
解
例8
解
例9
证
证毕
三. 高阶导数的运算法则
问题
莱布尼兹公式
（证明略）
例10
解
例11
解
几种类型函数的求导方法
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
一 . 隐函数的求导法
定义:
例1
解
解得
例2
解
例3
解
二. 对数求导法
观察函数
方法:
先取对数, 然后再求导
----对数求导法
适用范围:
问题:
如何求上述函数的导数 ?
解
先取对数，
例4
例5
解
两边先取对数，
例6
解
两边取对数，
三 .参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的求导法则，有
例7
解
所求切线方程为
例8
解
四 . 相关变化率
相关变化率问题:
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
求法：
例9
解
仰角增加率
）
例10
解
水面上升之速率
函数的微分与线性逼近
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
一. 微 分 的 概 念
定义
定理（可微与可导的关系）
证
证毕
结论:
微分的几何意义
T
）
(如图)
以直代曲的思想是微积分的核心思想
微分三角形
二. 微分的计算
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1. 基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
3. 复合函数的微分
结论