余弦定理教学设计课题经典.doc

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．2余弦定理教学设计
一、教学目标
认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；
能力目标：引导学生通过观察，推导≠a2+b2。那么c2与a2+b2到底有什么等量关系呢？请同学们继续探究。
教师引导学生分组合作学习，可让几个小组的学生研究当∠C为锐角时的结论，另外的小组研究当∠C为钝角时的结论。最后交流探索，展示成果。
如图4，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：
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A
C
B
D
图4
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；
在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．
所以，AB2=AD2+BD2化为
c2=(b－acosC)2+(asinC)2，
　　c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，
c2=a2+b2－2abcosC．
　　可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系。
　　　　如图5，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D。
B
A
D
C
图5
△ACB是两个直角三角形之差。
　　在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．
　　在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．
　　BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．
　　所以AB2=AD2+BD2化为
　　c2=(AC+CD)2+BD2
　　=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2
=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)
　　=b2+2abcos(π－C)+a2．
　　因为cos(π－C)=－cosC，所以也可以得到c2=b2+a2－2abcosC。
教师点拨：以上两种情况，我们可以考察向量在向量方向上的正射影的数量：当
∠C分别是锐角和钝角的时候，得到两个数量符号相反；当∠C是直角的时候，其向量在直角边上的正射影的数量为零。因此，无论是∠C是锐角、直角还是钝角，都有
,
在Rt△ADB中，运用勾股定理，得c2=a2+b2－2abcosC，我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到
a2=b2+c2－2bccosA．
b2=c2+a2－2accosB．
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于是，我们得到三角形中边角关系的又一重要定理：（多媒体投影余弦定理的容）
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
c2=a2+b2－2abcosC
a2=b2+c2－2bccosA
b2=c2+a2－2accosB
从以上的公式中解出,则可以得到余弦定理的另外一种形式：
从以上分析过程，我们对∠C不是直角的情况有了清楚认识。我们不仅要认识到，∠C为锐角和钝角时都有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的。这种由未知向已知转化的思想在数学中经常用到。
探究2、你还能用向量的方法证明余弦定理吗？参看教材例1左上方的思路提示。
教师点拨学生的思路，可以让学生分组讨论、探究，最后教师用多媒体展示证明的思路及过程。
图6
如图6，在△ABC中，设，
教师点评：对于探究1，我们分∠C是锐角和钝角的情况对余弦定理的形式给出了证明，过程比较复杂；对于探究2，我们应用向量的数量积可以很简单的证明余弦定理，这就可以看出向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用，在今后的学习中，我们应该加强对所学知识的应用。
探究3、余弦定理在解三角形中的应用
教师启发学生：根据余弦定理的两种形式，可以看出它能够解决解三角形的哪些类型？
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（学生并不难发现，余弦定理可以用来解决两种解三角形的类型：⑴已知三角形的两边及其夹角，求第三边；⑵已知三角形的三边，求三个角。）
下面，请同学们根据余弦定理的这两种应用，来解决以下三个例题。（用多媒体展示例题）
例1、在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=120O,求c.
例2、在△ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三个角的大小及其面积（）.
例3、△ABC的定点为A(6,5),B(-2,8),和C(4,1),求∠A().
双边活动：师生可以共同完成例题，进