最全的递推数列求通项公式方法.doc

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高考递推数列题型分类归纳 <
类型5 递推公式为〔其中p，q均为常数〕。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为
其中s，t满足
解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。假设是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定〔即把和，代入，得到关于A、B的方程组〕；当
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时，数列的通项为，其中A，B由决定〔即把和，代入，得到关于A、B的方程组〕。
解法一〔待定系数——迭加法〕:
数列：， ，求数列的通项公式。
由，得
，
且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是
。把代入，得
，
，
，
。
把以上各式相加，得
。
。
解法二〔特征根法〕：数列：， 的特征方程是：。
,
。
又由，于是
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故
例:数列中，,,，求。
解：由可转化为
即或
这里不妨选用〔当然也可选用，大家可以试一试〕，则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即
又，所以。
变式:〔2006，,文,22,本小题总分值14分〕
数列满足
〔I〕证明：数列是等比数列；
〔II〕求数列的通项公式；
〔III〕假设数列满足证明是等差数列
〔I〕证明：
是以为首项，2为公比的等比数列
〔II〕解：由〔I〕得
〔III〕证明：
　　　　　　　　①
　　②
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②－①，得
即　　　　　③
　　　　④
④－③，得
即
是等差数列
类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与消去或与消去进展求解。
例：数列前n项和.
〔1〕求与的关系；〔2〕求通项公式.
解：〔1〕由得：
于是
所以.
〔2〕应用类型4〔〔其中p，q均为常数，〕〕的方法，上式两边同乘以得：
，2为公差的等差数列，所以
变式:〔2006，,理,20本小题总分值12分)
正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
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当a1=3时，a3=13，a15=73a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
变式:(2005,,文,22．本小题总分值14分〕
数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.
解：，
，两边同乘以，可得
令
…………
又，，
，
。
类型7
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与递推式比拟，解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例:设数列：，求.
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