高三数学 3用等体积法求体积试题.doc

3 用等体积法求体积

图3-1
【例3】将边长为的正方形沿对角线折起，使为正三角形，那么三棱锥的体积为 〔 〕
A． B． 　C． 　D．
[解析] 如图3-1，取的中【解析1】 三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中△DD1E 图3-4
的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF-DDE＝××1＝.
【解析2】 E点移到A点，F点移到C点，那么V D-EDF＝V D-DAC＝××1×1×1＝.
【评注】 把握正方体的特征，合理选择底面易求高，解析1中注意到△EDD1的面积为定值，F到面
△EDD1的距离为1使问题简单化，解析2中利用点的特殊性对点进展移动转化特殊四面体的体积求解，
B
C
C1
A1
B1
E
F
D
D1
【变式1】利用等体积法求动三棱锥体积→等积变换合理选择底面易求三棱锥的体积
(淮安市2021 ·高三冲刺四)如图3-5正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，那么三棱锥B—AEF的体积为是______ . 图3-5
【变式1】答案
【解析】
【变式2】利用等体积法求动三棱锥体积→等积变换合理选择底面易求三棱锥的体积
(2021 ·厦门市质检) 如图3-6，在棱长为1的正方体中，E是棱BC上的一点，那么三棱锥的体积等于 .
【变式2】答案
【解析】
图3-6
【变式3】利用等体积法求动三棱锥体积→等积变换合理选择底面易求三棱锥的体积
〔2021 ·广州市高三上学期期中考试〕如图3-7所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．那么三棱锥的体积为 .
【变式3】答案1
【解析】由题设可知
即CF为高 ，
， 图3-7
, 即
=
【变式4】利用等体积法求三棱锥体积→利用等体积法求三棱锥体积的定值
如图3-8，正方体的棱线长为1，线段A
B
C
C1
A1
B1
E
F
D
D1
上有两个动点E，F，且，那么以下结论中错误的选项是 ( )
〔A〕 〔B〕
〔C〕三棱锥的体积为定值
〔D〕
【变式4】答案D 图3-8
【解析】 可证故A正确，由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，那么AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误,选D.