矢量分析-.ppt

矢量分析-
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参考书
“电磁场与电磁波” 湖北工业大学, 周克定教授
“工程电磁场” 西安交通大学, 冯慈璋教授
“电磁场原理” 浙江大学 , —— 只有大小的物理量
标量只用它的大小就可以完全描述，如质量、时间、功和电荷。
—— 有大小与方向的物理量
如力、速度、电场强度、电通量密度等。
——大小为１，只表示方向的量。
是与 同方向的单位矢量
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标量和矢量
（null vector）——大小为零的矢量，也称空矢。
零矢是唯一不能用箭头表示的矢量。
（position vector）——从坐标原点指向空间任一点的矢量，简称位矢 。
（distance vector）——从空间一点指向空间另一点的矢量。
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矢量运算


矢量服从加法的交换律、结合律

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矢量运算

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矢量运算

①两矢量的点积（dot product）

矢量的点积是一个标量
点积的基本性质是服从
交换律：
分配律：
按数乘比例：
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矢量运算
标投影
Bcosθ称为 沿 的分量，也成为 在 的标投影
矢投影
可见两矢量之间的夹角为

（当 ）
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矢量运算
两矢量垂直的充要条件是它们的点积为零。
分量是标量——标投影（没方向），
分量乘一个单位矢量——矢投影（有方向）。
我们还可以求出矢量的大小，即
标投影和矢投影有什么区别?
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矢量运算
②两矢量的叉积
叉积结果是矢量，又称为矢积
（vector product）。
矢积不服从交换律，因为
但服从 分配律：
按数乘比例：
两矢量平行的充要条件是它们的矢积为零。
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思考：
已知
若使 或者 ，则b,c各为多少？
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矢量运算
③标三重积（scalar triple product）
如果三个矢量代表一个平行六面体的边，则标三重积是它的体积
④矢三重积（vector triple product ）
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坐标系
从数学的观点把矢量分解成沿三个互相正交
的方向来处理是比较方便的，即采用正交坐标系。
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坐标系

直角坐标系的单位矢量：
∴单位矢量只表示方向。
直角坐标系下位矢 表示为


此处 是在x，y，z轴
上的标投影。 直角坐标系一点投影
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坐标系
坐标系中三个单位矢量互相正交，其点积为
叉积为
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坐标系
在直角坐标系下，矢量运算表示为
两矢量之和、差为
点积为
可得
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坐标系
两矢量之矢积为
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坐标系

( )也是一个正交坐标系,如图可知，
x=ρcosφ
y=ρsinφ
z=z
空间任一点P(x，y，z)现在
可换成P(ρ，φ，z)，相应的
单位矢量为
圆柱坐标系一点投影
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坐标系
在圆柱坐标系下，可以
得到位矢的描述式为
其中
圆柱坐标系三个互相垂直的坐标面
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坐标系
圆柱坐标下单位矢量的点积和叉积为
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坐标系
在圆柱坐标系下，矢量运算表示为
当两个矢量定义在一个公共点P(ρ，φ，z) 或在一个φ