泰勒公式 ppt课件.ppt

二、几个初等函数的麦克劳林公式
第三节
一、泰勒公式的建立
三、泰勒公式的应用
应用
目的－用多项式近似表示函数.
理论分析
近似计算
泰勒公式
第三章
*
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特点:
一、泰勒公式的建立
以直代
二、几个初等函数的麦克劳林公式
第三节
一、泰勒公式的建立
三、泰勒公式的应用
应用
目的－用多项式近似表示函数.
理论分析
近似计算
泰勒公式
第三章
*
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特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
在微分应用中已知近似公式 :
需要解决的问题
如何提高精度 ?
如何估计误差 ?
x 的一次多项式
*
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精品资料
你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
精品资料
1. 求 n 次近似多项式
要求:
故
令
则
*
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2. 余项估计
令
(称为余项) ,
则有
*
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*
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公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 ,
时, 有
①
其中
②
则当
泰勒
*
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公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
注意到
③
④
* 可以证明:
④ 式成立
*
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特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
*
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称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
麦克劳林
由此得近似公式
*
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二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
麦克劳林公式
*
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其中
麦克劳林公式
*
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麦克劳林公式
类似可得
其中
*
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其中
麦克劳林公式
*
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已知
其中
因此可得
麦克劳林公式
*
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
误差
M 为
在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型:
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
*
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例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
解: 已知
令 x = 1 , 得
由于
欲使
由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,
因此
的麦克劳林公式为
*
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过
总误差限为
这时得到的近似值不能保证误差不超过
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
*
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例2. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
令
解得
即当
时, 由给定的近似公式计算的结果
能准确到 .
*
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例3、计算
解:
原式
第四节
2. 利用泰勒公式求极限
*
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3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
证:
+
*
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内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳林公式 .
*
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2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 )
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
(2) 利用多项式逼近函数
例如
*
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2
例4. 求
解:
由于
用洛必达法则不方便 !
用泰勒公式将分子展到
项,
思考与练习
*
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证: 由题设对
备用题 1.
有
且
点
*
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下式减上式 , 得
令
*
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两边同乘 n !
= 整数 +
假设 e 为