高中数学函数知识点详细.doc

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第二章函数
一．函数
1、函数的概念：
〔1〕定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，
〔1〕熟悉各种根本初等函数的图象
如：，，，，，
〔2〕图象变换
平移：
对称：
翻折：
注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法
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：
⑴⑵
，那么函数的定义域为__
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，那么函数的定义域是
，假设，那么=
：
⑴⑵
(3) (4)
二．函数的性质
(局部性质)
〔1〕增减函数和单调区间
设函数的定义域为I，如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量，当时，都有，.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值当时，都有，.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
〔2〕图象的特点
如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
〔3〕函数单调区间与单调性的判定方法〔重点〕
(A) 定义法：
任取∈D，且；
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作差；
变形〔通常是因式分解和配方〕；
定号〔即判断差的正负〕；
下结论〔指出函数在给定的区间D上的单调性〕．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数的单调性与构成它的函数，的单调性密切相关，其规律："同增异减〞
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性一样的区间和在一起写成其并集.
例：是否存在实数使函数在闭区间上是增函数？如果存在，说明可取哪些值；如果不存在，说明理由。
解：当>1时，为使函数在闭区间上是增函数
只需在闭区间上是增函数，故
得，又由>1，得>1
当0<<1时，为使函数在闭区间上是增函数
只需在闭区间上是减函数，故
无解
综上，当时，在闭区间上是增函数
〔D〕常用结论
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函数与函数的单调性相反；
函数与具有一样的单调性；
当时，函数与具有一样的单调性，时，它们具有相反的单调性；
假设那么函数与具有相反的单调性；
公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、
增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数
假设且与都是增〔或减〕函数，那么也是增〔或减〕函数；
假设且与都是增〔或减〕函数，那么也是增〔或减〕函数；
假设，且在定义域上是增函数，那么也是增函数，也是增函数。
常见函数的单调性〔一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数〕
〔E〕利用函数的单调性求函数的最值
确定函数的定义域；将复合函数分解为根本的初等函数；分别判断其单调性；根据同增异减判断
例：求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值
2．函数的奇偶性〔整体性质〕
〔1〕函数奇偶性定义
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一般地，对于函数的定义域D的任意一个，都有,且〔或〕，那么就叫做奇〔或偶〕函数．
〔2〕图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
〔3〕利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定与是否成立；
作出相应结论：假设或，那么是偶函数；
假设或，那么是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，，再根据定义判定;或由变式或来判定;利用定理，或借助函数的图象判定 .
〔4〕函数奇偶性的重要结论
具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；
、是定义域分别为的奇函数，那么在上，+是奇函数，•是偶函数。
类似结论：奇奇=奇、奇×奇=偶、
偶偶=偶、偶×偶=偶
奇×偶=奇
假设是具有奇偶性的单调函数，那么奇〔偶〕函数在正负对称区间上的单调性是一样〔反〕的。
假设的定义域关于原点对称，那么是偶函数，是奇函数。〔
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