平面几何在解析几何中的应用.doc

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平面几何在解析几何中的应用
大学附中一君
一、活用几何关系速解圆类问题
在解析几何中，，又是中心对，离心率，点P为第一象限椭圆上的一个点，且那么直线的斜率为.
【常规解法一】P到直线的距离和到轴的距离的比为2:1，设出P点坐标，进而求.
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F2
A
x
y
P
F1
O
F2
A
x
y
P
F1
N
M
O
设P(m,n)，由题意知直线，
P到直线的距离,
即〔点P在直线AF1的右侧，可直接去掉绝对值符号〕
整理得〔表达了设而不求〕
【常规解法二】A与到直线的距离的比为2:1，用点到直线的距离公式直接解出
y
F2
A
x
P
F1
M
2
N
1
O
设直线方程为,由与到直线的距离的比为2:1得到等式，即
〔注意点到直线距离公式中绝对值符号是如何去掉的〕
【利用相似比解法一】连接与交于点，证明是线段的三等分点，进而求
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F2
A
x
y
P
F1
B
M
N
O
如图，作AM垂直于于点M，作垂直于点N，,连接交于点，由相似比知，所以是线段的三等分点，
而，求出点坐标是，所以
F2
A
x
y
P
F1
M
N
O
【利用相似比解法二】AO与交于点B，证明B是线段AO的五等分点，就能得出B点坐标，进而求
连接OP，知，由，得出，
作AM垂直于点M，作ON垂直于于点N，
设与y轴的交点为B，由相似比知，所以B是线段AO的五等分点，而，求出B点的坐标是，所以
【评析】灵活地应用平面几何知识，"形〞向"数〞的转化，是特殊性方法，是"数形结合〞思想应用.
通过本节微专题学习，对于某些解析几何问题，我们不一定都要通过常规方法入手，只要我们认真分析题目中几何量之间的关系，运用平面几何的观点来审题，认清题目的本质特征，然后再动笔，，不要刻意分割解析几何中的"数〞与"形〞，让数形结合思想真正融入解题思维里．
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【针对训练】圆直线为l上的一点，射线OP交圆于点R，点Q在OP上，且满足，当P点在l上移动时，求点Q的轨迹方程.
【分析】常规解法相当繁琐，，这里不再展示常规解法，但是，如果采用三角形相似来解决的话，会很简单.
解：如下图，过点P作圆的切线PM，M为切点，连接MQ，易证
由，得，即，
故为定值，又
故点Q的轨迹方程为.
【点评】到目前为止,这是我所见到的此题最简洁的解法,简炼有力,令人惊叹！
三、平面几何在求轨迹方程中的应用
在最近几年的教学中，我发现了同学们学习中存在的一个普遍问题：学哪一段就用哪一段的方法，这样做产生的后果是:思路闭塞，，同学们所掌握的数学方法越来越多，进入高中以后，特别是接触到解析几何后，我们不少同学就有点喜新厌旧了，把以前初中的平面几何知识抛到一边，，数学方法并没有过时的说法，一些简单地定理往往能带来令人意想不到的效果，如中线定理、角平分线定理、射影定理等平面几何中的根本知识，如果运用得当的话，就可以将你从解析几何繁复的运算中解放出来，甚至能让你拍案叫绝.
求轨迹方程是解析几何中的两大根本问题之一，，但在求轨迹方程中,如果能够充分利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带着大家学面几何求解轨迹方程的问题.
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【例题】圆O的方程是，定点,如图作矩形APBQ〔A、B两点在圆上〕.求矩形的顶点Q的轨迹方程.
x
y
A
6
-6
O
P
B
Q
M
【常规解法】设，那么：
,又
即.
即所求矩形的顶点Q的轨迹方程为：.
【点评】以上解法很常规，但其消元的过程是在太巧妙了！，还可利用PA斜率K为参数，建立Q的参数方程来解决，但其运算过程相当复杂，不易求解.
【利用中线定理几何性质解法】如上图，连接OP,OQ,OA,OB,OM〔M为矩形APBQ的对角线的交点〕由平面几何的中线定理知识可知：
在中，
在△中，
从而可得：，故为所求方程.
【点评】在求轨迹方程中，充分