第一章 矩阵的相似变换.ppt

第一章 矩阵的相似变换
第1页，本讲稿共62页
特征值与特征向量
第一章 矩阵的相似变换
定义 设 ，如果存在 和非零向量 ，使
定义：设 为一个 阶复矩阵，如果其满足
则称 是酉矩阵，一般记为
设 为一个 阶实矩阵，如果其满足
则称 是正交矩阵。
第23页，本讲稿共62页
例：
是一个正交矩阵
第24页，本讲稿共62页
是一个正交矩阵
是一个正交矩阵
第25页，本讲稿共62页
（5）设 且 ，如果
则 是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。
是一个酉矩阵
第26页，本讲稿共62页
设 ，那么
酉矩阵与正交矩阵的性质：
第27页，本讲稿共62页
定理： 设 ， 是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列（或行）向量组是标准正交向量组。
第28页，本讲稿共62页
酉相似下的标准形
定义：设 ，若存在
，使得
则称 酉相似(或正交相似)于
定理(Schur引理)：任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。
第29页，本讲稿共62页
证明：用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑
的阶数为 时的情况。
取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，
因为 构成 的一个标准正交基，故
第30页，本讲稿共62页
，因此
第31页，本讲稿共62页
令
那么
其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在
阶酉矩阵 满足
(上三角矩阵)
注意: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值.
第32页，本讲稿共62页
试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵.
解: 首先求矩阵 的特征值
例: 已知矩阵
第33页，本讲稿共62页
所以 为矩阵 的三重特征值. 当
时, 有单位特征向量
再解与其内积为零的方程
求得一个单位解向量
第34页，本讲稿共62页
再解与 内积为零的方程组
求得一个单位解向量
取
第35页，本讲稿共62页
计算可得
第36页，本讲稿共62页
第37页，本讲稿共62页
再求矩阵 的特征值
所以 为矩阵 的二重特征值. 当
时, 有单位特征向量
令
第38页，本讲稿共62页
再解与其内积为零的方程
求得一个单位解向量
第39页，本讲稿共62页
取
计算可得
第40页，本讲稿共62页
令
于是有
第41页，本讲稿共62页
第42页，本讲稿共62页
矩阵 即为所求的酉矩阵.
正规矩阵
定义: 设 , 如果 满足
则
第43页，本讲稿共62页
那么称矩阵 为一个正规矩阵.
设 , 如果 同样满足
那么称矩阵 为一个实正规矩阵.
例:
(1) 为实正规矩阵
第44页，本讲稿共62页
(2)
其中 是不全为零的实数, 容易验证这是一个实正规矩阵.
第4