条件概率、全概率公式与贝叶斯公式.docx

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
一、背景
一个随机事件A的概率产⑷,确切地说,是指在某些给定的条件下,，，人们自然提出：如果增加某个条件之后，事=网44…4)
五、乘法公式的应用例子
［例5］设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下时未打破，第二次落下时打破的概率为7/10,若前两次时未打破，第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.
解：以…,
表示事件“透镜第i次落下时打破”，以3表示事件“透镜
三次落下而未打破”.因为3=,故有
尸⑹=.碣④
=p(A)^4l4)mi44)1793
=(1-)(1-XI-)—
［例6］设袋中装有r只红球，，观察其颜色后放回，，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.
解：以4i=123,4表示事件“第i次取到红球”，44分别表示事件第
三、
网短=二,F⑷旧)=*-
F(耳|44)=’、
r+^2a
'—£+〃
r+t+3a
尸（4444）
-尸⑷氏4闺）尸（耳144）砧1444）
rr+att+a
r+ir+t+ar+i+2ar+t+3a
［例7］（卜里耶模型）罐中有方只黑球，r只红球，随机地取一只之后，把原球放回，并加进与抽出的球同色之球c只，再摸第二次，，后面之一片一“1次出现红球概率是多少？
解：以4尸L2，…遇
，表示事件”第k次取到黑球”，4同072,3,…⑹
表示事件“第々+J次取到红球”，则
尸⑷二白，尸㈤14）=卢巳
b+ra+c+r
b+2c
A+2。+尸
占+（金-1”
A+-l）c+r
尸=0
尸小14…4G
r +c
b +（々 +1” + r
尸（……5^?
由一般乘法公式，
m--4）
-P（4）/XAIA）
产&144…?（414…4”）
尸（4/4…4）产（4籍14-4♦…mi4-AG
.bb8+（邦i-l）c
b-^rb+c+r-l）c+r
rr+c+（«2-l）c
5+与右+/8+（均+1）二+尸A+（m-l）c+r
.在例7中，最后答案与黑球和红球出现的次数有关，而与出现的顺序无
.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型
当e=0时，它是有放回的摸球模型.
当r=7时，它是不放回的摸球模型.
思考题：在卜里耶模型中，取以次，问正好出现4次红球概率是多少？
[例8]一批产品共100件，对其进行抽样调查，整批产品看作不合格的规定是:%^废品，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？
解:设二：-一•・：
=44444且
9594
产⑷=二,产（4|4=二
10099
9392
门4144）=森1444）=—
91
I4A4A）=—
尸⑷=F（44&44）
■P⑷口414）汽4144）
救4144当）户（4144当4）
9594939291…
==U//
**********
因此，。
作业：
P55EX29,30,31
六、全概率公式
设A,B是两个事件,那么幺可以表示为
A=AB\JAB
显然,ABn血=0,如果P吩F®)0,则
尸⑷=F(a+P(£B)
=尸⑷切尸⑶+尸⑷豆)P@
[例1]1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出的红球的概率是多少？
解:令A最后从2号箱中取出的是红球
员从1号箱中取出的是红球
42-1
尸⑻=_1-尸⑻=-
2+433
由上面的公式,
尸⑷=/幽+P(AB)
=尸(川的尸(B)+尸(金⑻F(瓦
241311
——*一+—*_=—
393927
上例采用的方法是概率论中颇为常用的方法，为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果，这一方法的一般化就是所谓的全概率公式.
设。为试验总的样本空间Y为总的事件，区同，…，
⑴.一L［二；:
⑵二「
则称44,…，4为样本空间C的一个分割.
若44,…，4为样本空间◎的一个分割，那么，对每一次试验，事件