第1讲相似矩阵及二次型.ppt

第1讲相似矩阵及二次型
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§1 向量的内积、长度及正交性
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1. 定义：
内积
一、内积的定义及性质
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说明
1 第1讲相似矩阵及二次型
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§1 向量的内积、长度及正交性
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1. 定义：
内积
一、内积的定义及性质
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说明
1 维向量的内积是3维向量内积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
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2. 内积的运算性质
（施瓦兹不等式）
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1. 定义：
令
长度
范数
2. 性质：
二、向量的长度及性质
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3. 单位向量：
4. n维向量间的夹角
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1. 正交的概念
2. 正交向量组的概念
三、正交向量组的概念及求法
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
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证明：
3. 正交向量组的性质
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4. 向量空间的正交基
例
是二维向量空间的一个正交基
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5. 规范正交基
例如
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同理可知
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（ⅰ） 正交化：
（2） 求规范正交基的方法
步骤：
取 ，
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（ⅱ）单位化：
取
施密特正交化
过程
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例1 用施密特正交化方法，将向量组
正交规范化.
解：
取
先正交化.
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再单位化，
得规范正交向量组如下：
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1. 正交矩阵
（2）定理：
四、正交矩阵与正交变换
（1）定义：
A的列（或行）向量都是单位向量且两两正交．
A 为正交矩阵
注：
正交矩阵A的 n 个列（或行）向量构成向量空
间Rn 的一个规范正交基．
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（3）性质：
正交变换保持向量的长度不变．
若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换．
2. 正交变换
（1）定义：
（2）性质：
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例2 判别下列矩阵是否为正交阵．
解：
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
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所以它是正交矩阵．
由于
解：
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§2 方阵的特征值与特征向量
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注：
一、特征值与特征向量的概念
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2. 特征方程与特征多项式
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3. 特征值的性质
例1
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解
例2
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例 3
解
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例 4 设
求A的特征值与特征向量．
解
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得基础解系为：
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例 5 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于
　的特征向量，则
证明
再继续施行上述步骤 次，就得
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（3）
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求矩阵特征值与特征向量的步骤：
小结：
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证明
则
即
类推之，有
二、特征值和特征向量的性质
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把上列各式合写成矩阵形式，得
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注：
10 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
30 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言
的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征
向量不能属于不同的特征值．
20 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍
是属于这个特征值的特征向量．
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例 6 设A是 阶方阵，其特征多项式为：
解：
AT与A有相同的特征多项式，也有相同的特征值
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1．将一组基规范正交化的方法：
　 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化．
小结：
2． 为正交矩阵的充要