专题：抽象函数的单调性及奇偶性的证明.doc

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抽象函数单调性与奇偶性
特殊模型
抽象函数
正比例函数f(*)=k* (k≠0)
f(*+y)=f(*)+f(y)
幂函数 f(*)=*n
f(*y即得g〔a＋b〕＝g〔a〕·g〔b〕。
10. 己知函数f〔*〕的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f〔a〕＝－1〔a＞0，a是定义域中的一个数〕；
③当0＜*＜2a时，f〔*〕＜0。
试问：〔1〕f〔*〕。
〔2〕在〔0，4a〕上,f〔*〕。
分析: 由题设知f〔*〕是y=-cot*的抽象函数，从而由y=-cot*及题设条件猜测：f〔*〕是奇函数且在〔0，4a〕上是增函数〔这里把a看成进展猜测〕。
解：〔1〕∵f〔*〕的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有
，∴在定义域中。∵
，
∴f〔*〕是奇函数。
〔2〕设0＜*1＜*2＜2a，则0＜*2－*1＜2a，∵在〔0，2a〕上f〔*〕＜0，
∴f〔*1〕，f〔*2〕，f〔*2－*1〕均小于零，进而知中的，于是f〔*1〕＜f〔*2〕，∴在〔0，2a〕上f〔*〕是增函数。
又，∵f〔a〕＝－1，∴，∴f〔2a〕＝0，设2a＜*＜4a，则0＜*－2a＜2a，
，于是f〔*〕＞0，即在〔2a，4a〕上f〔*〕＞0。设2a＜*1＜*2＜4a，则0＜*2－*1＜2a，从而知f〔*1〕，f〔*2〕均大于零。f〔*2－*1〕＜0，∵，∴，即
f〔*1〕＜f〔*2〕，即f〔*〕在〔2a，4a〕上也是增函数。综上所述，f〔*〕在〔0，4a〕上是增函数。
11. 函数f〔*〕对任意实数*、y都有f〔*y〕＝f〔*〕·f〔y〕，且f〔－1〕＝1，f〔27〕＝9，当时，。
〔1〕判断f〔*〕的奇偶性；
〔2〕判断f〔*〕在［0，＋∞〕上的单调性，并给出证明；
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〔3〕假设，求a的取值围。
分析：由题设可知f〔*〕是幂函数的抽象函数，从而可猜测f〔*〕是偶函数，且在［0，＋∞〕上是增函数。
解：〔1〕令y＝－1，则f〔－*〕＝f〔*〕·f〔－1〕，∵f〔－1〕＝1，∴
f〔－*〕＝f〔*〕，f〔*〕为偶函数。
〔2〕设，∴，，
∵时，，∴，∴f〔*1〕＜f〔*2〕，故f〔*〕在0，＋∞〕上是增函数。
〔3〕∵f〔27〕＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，又，故。
12. 设f(*)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数*、y，有，求证：在R上为增函数。
证明：在中取，得
假设，令，则，与矛盾
所以，即有
当时，；当时，
而
所以
又当时，
所以对任意，恒有
设，则
所以
所以在R上为增函数。
，试判断函数f(*)的奇偶性。
解：取得：，所以
又取得：，所以
再取则，即
因为为非零函数，所以为偶函数。
(*)满足：对任意实数m，n，总有，且当*>0时，0<f(*)<1。
判断f(*)的单调性；
解：在中，令，得，因为，所以。
在中，令因为当时，
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