三角形辅助线总结及口诀要点.doc

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三角形作辅助性方法大全
口诀：
总则：{3}标注等线和等角，对顶角不要忘，相等边角要避开。
{3}1、等腰三线合；过腰上一点做另腰平行或底平行线。
等腰
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o
∴∠PAB = (180o－∠ABP)= 70o
解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则
EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o
∵EB = EC
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∴E在BC的中垂线上
同理A在BC的中垂线上
∴EA所在的直线是BC的中垂线
∴EA⊥BC
∠AEB = ∠BEC = 30o =∠PCB
由解法一知：∠ABC = 50o
∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC
∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB
∴△ABE≌△PBC
∴AB = BP
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o
∴∠PAB = (180o－∠ABP) = (180o－40o)= 70o
二、角比拟
1、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长*边，构造三角形，使求证的大角在*个三角形外角的位置上，小角处在角的位置上，再利用外角定理证题.
例：D为△ABC任一点，求证：∠BDC＞∠BAC
证法〔一〕：延长BD交AC于E，
∵∠BDC是△EDC 的外角，
∴∠BDC＞∠DEC
同理：∠DEC＞∠BAC
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∴∠BDC＞∠BAC
证法〔二〕：连结AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角，
∴∠BDF＞∠BAD
同理∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角
例：，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，
求证：AB＋BD = AC
证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE
则∠BED = ∠BDE
∵∠ABD =∠E＋∠BDE
∴∠ABC =2∠E
∵∠ABC = 2∠C
∴∠E = ∠C
在△AED和△ACD中
∠E = ∠C
∠1 = ∠2
AD = AD
∴△AED≌△ACD
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∴AC = AE
∵AE = AB＋BE
∴AC = AB＋BE
即AB＋BD = AC
⑵平分二倍角
例：，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC
求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC
∵BD⊥AC
∴∠CBD ＋∠C = 90o
∴∠CAE＋∠C= 90o
∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o
∴AE⊥BC
∴∠ABC＋∠BAE = 90o
∵∠CAE＋∠C= 90o
∠BAE = ∠CAE
∴∠ABC = ∠ACB
例：，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，
求证：∠BAC = 2∠DBC
证明：〔方法一〕作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = ∠BAC
又∵AB = AC
∴AE⊥BC
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∴∠2＋∠ACB = 90o
∵BD⊥AC
∴∠DBC＋∠ACB = 90o
∴∠2 = ∠DBC
∴∠BAC = 2∠DBC
〔方法二〕过A作AE⊥BC于E〔过程略〕
〔方法三〕取BC中点E，连结AE〔过程略〕
⑶加倍小角
例：，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC
求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F〔过程略〕
三、两线做比拟
1、截长补短作辅助线的方法
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等.
这两种方法统称截长补短法.
当或求证中涉及到线段a、b、c、d有以下情况之一时用此种方法：
①a＞b
②a±b = c
③a±b = c±d
例：，如图，在△A