导数解题技巧.docx

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导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势：
导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用．
【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景〔如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等〕；掌握函数在一点处 依题意，， ，
解之，得.
故所求函数的解析式为.
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.
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式构造较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由得，，即函数的定义域为.
又，
当时，，
函数在上是增函数，而，的值域是.
例10．〔2006年天津卷〕函数，其中为参数，且．
〔1〕当时，判断函数是否有极值；
〔2〕要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
〔3〕假设对〔2〕中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
[考察目的]本小题主要考察运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等根底知识，考察综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]〔Ⅰ〕当时，，那么在内是增函数，故无极值.
〔Ⅱ〕，令，得.
由〔Ⅰ〕，只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
x
0
+
0
-
0
+
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↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此，函数处取得极小值，且
假设，，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.
〔III〕解：由〔II〕知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，那么a须满足不等式组
或
由〔II〕，参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值范围是.
例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.
[考察目的]此题考察了函数的导数求法,函数的极值的判定,考察了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由得函数的定义域为，且
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〔1〕当时，函数在上单调递减，
〔2〕当时，由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．〔2006年北京卷〕函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，：
〔Ⅰ〕的值；
〔Ⅱ〕的值.
[考察目的]本小题考察了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等根底知识的综合应用,考察了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一：〔Ⅰ〕由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
由
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得
解得
解法二：〔Ⅰ〕同解法一
〔Ⅱ〕设
又
所以
由即得
所以
例13．〔2006年湖北卷〕设是函数的一个极值点.
〔Ⅰ〕求与的关系式〔用表示〕，并求的单调区间；
〔Ⅱ〕设，.假设存在使得成立，求的取值范围.
[考察目的]本小题主要考察函数、不等式和导数的应用等知识，考察综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]〔Ⅰ〕f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
那么 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，那么
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在区间〔－∞，3〕上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间〔3，―a―1〕上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间〔―a―1，＋∞〕上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x2<3＝x1，那么
在区间〔－∞，―a―