运筹学 第二章.ppt

第二章解简单管理问题的线性方程组法
线性方程组及其解
线性方程组的典型化解法
矩阵和线性方程组
第一节线性方程组及其解
实例
线性方程组的解
线性方程组的初等变换
等价方程组
例金工车间加工两种零件,两个月的生产结果如下表所示,试求每种零件的单位工时。
表1
月份
品种
零件甲(件)
零件乙(件)
总工时(小时)
1
150
200
900
2
400
100
1100
解设甲、乙两种零件的单位工时分别为未知量x1和x2(小时/件),由上表可列出如下的方程组
150x1+200x2=900 (1)
400x1+100x2=1100 (2)
第一个月的生产结果
只有两个未知量,一次的
两方程、两未知量的线性方程组。
线性方程组
LS1
可用加减消元法来解LS1。
甲、乙零件的单位工时分别是2小时/件和3小时/件。
线性方程组
(1)式×1/50;(2)式×1/100;得
3x1+4x2=18 (3)
4x1+ x2=11 (4)
LS1--1
(3)式×4-(4)式×3;保留(4)式,得
13x2=39 (5)
4x1+ x2=11 (4)
交换(4)式与(5)式,(5)式×1/13,得
4x1+ x2=11 (4)
x2=3 (6)
LS1--2
于是,先得x 2 =3。再把这一结果代入式(4),得x 1 =2
线性方程组
线性方程组的解
同时适合方程组中各个方程的未知量的一组取值,即所有方程的公共解,称为线性方程组的一个解。
关注(1)是否有解?(2)有几个解?(3)怎样把解求出?
由LS1的求解过程, 先回答(3)。
线性方程组的初等变换对一个线性方程组,
(1)用一个非零数k乘某一方程;
(2)把一个方程的k倍加到另一个方程;
(3)互换两个方程的位置。
称为线性方程组的初等变换。
线性方程组
(1)式×1/50;(2)式×1/100;得
3x1+4x2=18 (3)
4x1+ x2=11 (4)
LS1--1
(3)式×4-(4)式×3;保留(4)式,得
13x2=39 (5)
4x1+ x2=11 (4)
交换(4)式与(5)式,(5)式×1/13,得
4x1+ x2=11 (4)
x2=3 (6)
LS1--2
于是,先得x 2 =3。再把这一结果代入式(4),得x 1 =2
求解LS1:就是矩阵的初等变换:
非零数1/50乘方程(1);方程(4)的-3倍加到方程(3)的4倍上;交换(4)式与(5)式。
求解方程组的理论依据?
初等变换能保持解的一致性。
线性方程组
等价方程组. 对于两个线性方程组,如果
它们的解完全一样,就称它们是等价方程组或同解方程组。
上述LS1 与LS1—1就是等价方程组。
一般结论:
定理对一个线性方程组施以初等变换后得到的新线性方程组等价于原线性方程组。
用加减消元法求解线性方程组的过程,就是反复施行初等变换,把求解原方程组的问题归结到一个比较容易求解的等价方程组的过程。
线性方程组
第二节线性方程组的典型化解法
对实施初等变换的过程规定步骤---------典型化解法
解第一步化为等价方程组
对LS2实施以下初等变换(2)式-2×(1)式;
(3)式-4×(1)式;保留(1)式,得到等价方程组LS2—1:
例 2 解线性方程组LS2
LS2
LS2--1
再对LS2—1实施以下初等变换:
(5)式-3×(4)式;保(1)式和(4)式,得到等价方程组LS2—2:
LS2--2
称上述形式的线性方程组LS2是梯形的。
线性方程组解法
梯形线性方程组
如果一个线性方程组的未知量为x1,x2, …,xn;x1不出现在从第二个方程起以下的所有方程中; x2不出现在从第三个方程起以下的所有方程中; 等等,那么,就称这一方程组是梯形的。
例如,方程组
3x1+3x3=4
4x2+5x3=-4
-2x3=7
是一个梯形方程组。
3x1 +3x3=4
4x2+5x3=-4
-2x3=7
5x1+3x2+7x3=10
-2x3=6
和也是梯形
x2+x3=1
3x3=-1
线性方程组解法