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函数单调性

函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，假设能根据题目的构造特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举函数单调性

函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，假设能根据题目的构造特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明.
巧求代数式的值
例1。 ，求的值。
解:条件可化为
设,那么
而在R上是增函数
那么有，即
所以
点评：此题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。
拓展练习：方程的根为α，方程的根为β,求α+β的值。（答案:）
二。 妙解方程
例2。 解方程
解：易见x=2是方程的一个解
原方程可化为
而（因为）
在R上是减函数，同样在R上是减函数
因此在R上是减函数
由此知：当时,
当时，
这说明和的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。
拓展训练：解方程。（答：）
点评:解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式,最后根据的单调性得出原方程的解的结论.
三. 妙求函数的值域
例3。 求函数的值域。
解：令，那么
因为，所以
而在内递增
所以
又
而
所以为所求原函数的值域。
四。 巧解不等式
例4. 解不等式
解：设
原不等式可化为
那么，即
设
显然是R上的减函数，且，那么不等式
即
因此有，解得
点评:解不等式其本质是研究相应函数的零点，，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。
拓展训练：解不等式。(答：）
五. 巧证不等式
例5。 设，求证。
证明：当m，n中至少有一个为0时，那么有，结论成立。
设
因为在上单调递增
所以和必同号，或同为0（当且仅当时)
从而
因此,原不等式成立（当且仅当或,或时取“=”号）。
点评：原不等式等价于，这可由幂函数
在上递增而得到。
此题可拓展：令，那么。
六. 巧解恒成立问题
例6