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四点共圆例题及答案
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例1 如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H四点共圆．
　　
　　证明 菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OE、OF、OG、OH．
　　∵AC 如图7-91（b），通过AC，BD的交点F作AB的垂线交CD于点M．连结线段EF，MO．由于OE⊥AB，FM⊥AB，所以OE∥FM．又由于EF⊥CD（见例1的点评），MO⊥CD，所以EF∥MO．所以四边形OEFM为平行四边形．从而OE=MF，而由
例3  求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中AB·CD+BC·AD=AC·BD．
分析  在AB·CD+BC·AD=AC·BD中，等号左端是两个乘积的和，要证明这种等式成立，常需把左端拆成两个单项式来证明，即先考虑AB·CD和BC·AD各等于什么，然后再考虑AB·CD+BC·AD是否等于AC·BD．而要考虑AB·CD和BC·AD各等于什么，要用到相似三角形．为此，如图7-92，作AE，令∠BAE=∠CAD，并且与对角线BD相交于点E，这就得到△ABE∽△ACD．由此求得AB·CD=AC·BE．在圆中又出现了△ABC∽△AED，由此又求得BC·AD=AC·ED．把以上两个等式左右各相加，问题就解决了．
证明读者自己完成．
点评  本例叫做托勒玫定理．它在计算与证明中都很有用．
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意一点．求证：PA=PB+PC．
分析一  本例是线段和差问题，因此可用截取或延长的方法证明．如图7-93（a），在PA上取点M，使PM=PB，剩下的问题是证明MA=PC，这只要证明△ABM≌△CBP就可以了．
证明读者自己完成．
分析二  如图7-93（a），在PA上取点M，使MA=PC，剩下的问题是证明PM=PB，这只要证明△BPM是等边三角形就可以了．
证明读者自己完成．
分析三  如图7-93（b），延长CP到M，使PM=PB，剩下的问题是证明PA=MC，这只要证明△PAB≌△CMB就可以了．
证明读者自己完成．
读者可仿以上的方法拟出本例的其他证明．
*本例最简单的证明是利用托勒玫定理（例3）．
证明  由托勒玫定理得PA·BC=PB·AC+PC·AB，由于BC=AC=AB，所以有PA=PB+PC．
 
例2 如图7—116，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．
　　求证：CE∥DF．
　　分析：要证明CE∥DF．考虑证明同位角(或内错角)相等或同旁内角互补．由于CE、DF分别在两个圆中，不易找到角的关系，若连结AB，则可构成圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有关角的关系．
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　　证明：连结AB．
　　∵ABEC是圆内接四边形，
　　∴∠BAD=∠E．
　　∵ADFB是圆内接四边形，
　　∴∠BAD＋∠F=180°，
　　∴∠E＋∠F=180°．
　　∴CE∥CF．
　　说明：(1)本题也可以利用同位角相等或内错角相等，两直线平行证明．如延长EF至G，因为∠DFG=∠BAD，而∠BAD=∠E，所以∠DFG=∠E．
　　(2)应强调本题的辅助线是为了构成圆内接四边形，以利用它的性质，导出角之间的关系．
　　(3)对于程度较好的学生，还可让他们进一步思考，若本题不变，但不给出图形，是否还有其他情况？
　　问题提出后可让学生自己画图思考，通过讨论明确本题还应有如图7—117的情况并给予证明．
例3 如图7—118，已知在△ABC中，AB=AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证　：AD=EC．
　　分析：要证AD=EC，不能直接建立它们的联系，考虑已知条件可知∠ABD=
　　∠DBE，容易看出．若连结DE，则有AD=DE．因此只要证DE=EC．由于DE和EC为△DEC的两边，所以只要证∠EDC=∠C．由已知条件可知∠C=∠ABC．因此只要证∠EDC=∠ABC．因为△EDC是圆内接四边形ABED的一个外角，所以可证∠EDC=∠ABC．问题可解决．
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　　证明：连结DE．∵BD平分∠ABC，
　　∴，AD=DE．
　　∵ABED是圆内接四边形，
　　∴∠EDC=∠ABC．
　　∵AB=AC，
　　∴∠ABC=∠C，∴∠EDC＝∠C．
　　于是有DE=EC．因此AD=EC．
四、作业
　　1．如图7—120，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，并且AC⊥BD，∠BAD=70°18′，求四边形其余各角．
　　2．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠