《高等数学》-各章知识点总结——第9章.doc

第9章　多元函数微分学及其应用总结
一、多元函数的极限与连续
1、维空间
为二元数组的全体，称为二维空间。为三元数组的全体，称为三维空间。 为元数组的全体，称为维空间。
维空间中两点间的距离：
邻域:　设是的一个点，是某一正数第9章　多元函数微分学及其应用总结
一、多元函数的极限与连续
1、维空间
为二元数组的全体，称为二维空间。为三元数组的全体，称为三维空间。 为元数组的全体，称为维空间。
维空间中两点间的距离：
邻域:　设是的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体称为点的邻域，记为，即
空心邻域: 的邻域去掉中心点就成为的空心邻域,记为=。
内点与边界点：设为维空间中的点集，是一个点。如果存在点的某个邻域，使得，那么称点为集合的内点。 如果点的任何邻域内都既有属于的点又有不属于的点，那么称为集合的边界点, 的边界点的全体称为的边界．
聚点：设为维空间中的点集，是一个点。如果点的任何空心邻域内都包含中的无穷多个点，那么称为集合的聚点。
开集与闭集:　假设点集的点都是内点，那么称是开集。设点集, 如果的补集是开集，那么称为闭集。
区域与闭区域：设为开集，如果对于内任意两点，都可以用内的折线〔其上的点都属于〕连接起来, 那么称开集是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．
有界集与无界集:　对于点集，假设存在，使得，即中所有点到原点的距离都不超过，那么称点集为有界集，否那么称为无界集．
如果是区域而且有界，那么称为有界区域．
有界闭区域的直径：设是中的有界闭区域，那么称为的直径。
二、多元函数
元函数就是的一个子集到的一个函数，即对任意的，都存在唯一的，使得。习惯上，我们用表示一元函数， 用表示二元函数，用表示三元函数. 一般用或表示元函数．
三、多元函数的极限
设多元函数在有定义，是的一个聚点，为常数。如果对任意给定的，都存在，当时，有
那么称为趋于时函数在上的极限，记为 或。
四、多元函数的连续性
设多元函数在有定义，是的一个聚点。如果，那么称在点连续。如果在区域上各点都连续，就称在上连续．如果函数在 点处不连续，那么称函数在点处间断, 也称是函数的间断点。
五、偏导数
设二元函数，为平面上一点。如果在的某一邻域内有定义且在点可导，即极限
存在, 那么称在点处对可偏导，称此极限值为函数在点处对的偏导数，记为或
六、高阶偏导数
，，
，
如果函数的两个二阶混合偏导数都在平面区域D内连续，那么这两个二阶混合偏导数在D内相等。
七、全微分
设函数在点的某一邻域内有定义，为常数。如果，其中， 那么称函数 在点可微分〔简称可微〕，称为函数在点的全微分，记作，即
可微的必要条件：函数在点可微, 那么(1) 在点处连续。(2) 在点处偏导数存在, 且。
可微的充分条件：函数在点的某个邻域内可偏导，且偏导数在点连续，那么在点可微。
八、多元复合函数的求导法那么
链式法那么：，， ，。
一阶全微分