南开大学高等数学课件12极限.ppt

南开大学高等数学课件12极限
极限
主要教学内容：
数列极限
函数极限
极限的性质
函数的连续性
两个重要极限
无穷小量与无穷大量
极限应用举例
数列的极限
例1 《庄子》中记载着庄子朋友惠施名言：“ 一尺之捶，的图象，研究极限 ，并与例8作比较.
使用Mathematica作图：
a1=Plot[x Sin[1/x],{x,-1,-},PlotStyle-> {RGBColor[0,0,1]}]
a2=Plot[x Sin[1/x],{x,,1},PlotStyle -> {RGBColor[0,0,1]}]
Show[a1, a2]
比较下面几个函数的图像

Mathematica作图的另一种方法
f[x_]:=x Sin[1/x]/;-1<x<0
g[x_]:=x Sin[1/x]/;0<x<1
Plot[{f[x],g[x]},{x,-1,1}]
Plot[{f[x],g[x]},{x,-1,1}, PlotRange -> {-1, 1} ]

极限的性质
设 ， 均存在，c为常数，则有
性质1．
性质2．
性质3．
性质4．
性质5．
性质6． ，此处 0．
性质7．

由以上性质可以推出：

例15 求
解:原式 =
例16 求
解．原式=
例17 求
解．按前面方法，分子与分母极限均为0，得 0/0 ，可约去分子分母的公因子x-1后再计算：
原式=
0/0型

思考题：约去分子分母中的公因子，改变了函数的定义域，是否影响极限的计算？
考察：
f(x)
g(x)
结论：x“无限接近”a，不考虑在该点是否有定义，恒等变形虽改变了函数定义域，并不影响极限值。

思考题：考察
结论：求函数极限不能只看函数，还要看x→□。
注意“极限过程”！

例18 求
解．原式=
=
=
例19 求
解．
原式=
=
∞- ∞型
0/0型

在计算极限中起了怎样的作用？
结论：当分母极限 时，往往可直接将x=a代入式子，即得极限值．当 时，化为分母极限≠ 0 ，再进行计算。
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！

函数的连续性
定义．如果在函数y=f(x)的定义域内，
(1) ，则称y=f(x)在点a连续;
(2) ，则称y=f(x)在点a右连续;
(3) ，则称y=f(x)在点a左连续．

若f(x)在(a,b）内每一点连续，则称f(x)为（a, b）内的连续函数．
若f(x)在开区间(a,b)内每一点连续, 且在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)为闭区间[a,b]内的连续函数．






理解f(x)在点a处连续：
(x)在点a处有定义
存在
(x)在a点的极限等于该点的函数值,
理解f(x)在点a处间断：
(x)在点a处无定义
不存在
(x)在a点的极限不等于该点的函数值

考察函数在x=1处是否间断？
在x=1点无极限
在x=1点函数无定义
在x=1点有极限也有定义，但两者不等
在x=1点无极限也无定义

定理．初等函数是其定义域内的连续函数．
a是初等函数f(x)的定义域内一点，则 ．
连续性应用：计算极限，lim与f 可交换，即
例20 求
解．x=2是初等函数
定义域内一点，故
原式=
=lg1=0

例 在x0=0处的连续性
解：因
故，f(x)在x=0点连续.
例 函数 的连续性
解：因该函数为初等函数，故在其定义域内连续，即在[-1,0)及(0,1]内