第一章微积分
极限
极限
主要教学内容:
数列极限
函数极限
极限的性质
函数的连续性
两个重要极限
无穷小量与无穷大量
极限应用举例
数列的极限
例1 《庄子》中记载着庄子朋友惠施名言:“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”
通项1/2n无限接近0,但又永远不会等于0.
正如《庄子》所说:“万世不竭”.
哲学辩证的思想:有限和无限的统一
数学的思想:数列极限
日子序号 n
1
2
3
4
5
…
n
…
截取量 f(n)
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32
…
1/2n
…
极限
例2刘徽运用割圆术算出圆周率.
东汉科学家张衡:=;东汉天文学家王蕃:=
三国时代数学家刘徽:割圆术,,其周长无限接近圆周d,算出=。南北朝数学家祖冲之:用刘徽割圆术计算11次,分割圆为12288边形,= ,成为此后千年世界上最准确的圆周率。
极限
看几个实例:观察在一定条件下,数列的变化趋势
数列:按一定次序排列的一列数。
极限
数列与函数的关系
用Mathematica在平面上画出数列的散点图
Table [f[n],{n,min,max,step} ]
利用ListPlot[ ]和Table[ ]语句作图,如画出{n/(n+1)}
ListPlot[Table[ n/(n+1),{n,1,100}]]
极限
,它的定义域是全体正整数
例4 等比数列的极限
:a0,a0q,a0q2,…,a0qn,…
称为等比数列,,例1中每日截取量形成的数列,从惠施名言得出它是a0=1/2,q=1/2 的等比数列.
若a00,则有
极限
例如:考察{a0qn}
极限不存在
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