极限计算方法总结
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《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《”型,但用洛比达法则后得到：,此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
原式= (分子、分母同时除以x)
＝ （利用定理1和定理2）
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利用极限存在准则求极限
例２0 已知，求
解:易证:数列单调递增，且有界(０<<2)，由准则１极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：
，解得:或（不合题意，舍去)
所以 。
例21
解： 易见：
因为 ,
所以由准则2得： 。
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此,要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外,求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等，由于不常用,这里不作介绍。
极限与连续的62个典型习题,.另一方面
．
因为 ，故 ．利用两边夹定理，知
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,其中 .
例如 .
习题2 求 .
解
,
即
.
.
利用两边夹定理知
.
习题3 求.
解
习题4 求 ．
解（变量替换法）令，则当时,于是，
原式.
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习题5 求．
解(变量替换法）令,
原式
.
习题6 求 （型)。
为了利用重要极限,对原式变形
习题7 求 . 解 原式
.
习题８ 求 . 解 由于
.
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而
.故 不存在。
习题9 研究下列极限 （１）.
∵ 原式，其中，. ∴ 上式极限等于0,即.(2）.
因为 ,, 所以 ．
（3）. 原式.
习题1０ 计算.
解 原式
.
习题１1
.
习题1２ 已知 ,求的值。
解 首先，∴
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原式,
∴ ，而 .
习题13 下列演算是否正确？
．
习题１4 求．
解 原式
．
习题15 求 .
解 ∵，,原式 = 0.
习题16 证明 (为常数)。
证 （令)
.
习题17 求 .
解 原式.
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习题18 求 . 解 (连续性法)
原式
.
习题1９ 试证方程 (其中)至少有一个正根,并且它不大于.
证 设，此初等函数在数轴上连续,在上必连续。∵ 而
若，则就是方程的一个正根。
若，则由零点存在定理可知在内至少存在一点，
故方程 至少有一正根,且不大于．
习题21 求.
解 原式.
习题２０ 设满足且 试证
证 取使得当时有
即 亦即于是递推得
从而由两边夹准则有
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习题22 用定义研究函数 的连续性。
证 首先，当是连续的。同理,当
也是连续的。而在分段点处
故
习题23 求证 .
证 ∵,而
.由两边夹定理知，原式成立. 试证 存在,并求极限值。
证
故
由题设
由于
故单调有下界,故有极限。设
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由解出(舍去）。
习题25 设 求
解 显然有上界，有下界
当 时
即假设 则
故单增。
存在。设则由得即
(舍去负值）。当时，有
用完全类似的方法可证单减有下界，同理可证
习题26 设数列由下式给出 求
解 不是单调的，但单增，并以３为上界,故有极限。设单减，并以2为下界，设 在等式两边按奇偶取极限，得两个关系 ,解出由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等,因此的极限存在,记于是故有解出（舍去负值）
习题２7 设试证 收敛，并求极限。
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证 显然假设则由,可解出(舍去 )。下面证明收敛于由于
,
递推可得
由两边夹可得故
习题２８设试证
(1)存在;(2)当时,当时,
证 显然有又
单减有下界。收
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