专题二----四点共圆的应用(共5页).docx

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专题二----四点共圆的应用
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专题二----四点共圆的应用
【知识点】
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”；
性质：①共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；
②圆内接四边形的对角互补；
③圆内接四边形的一个外角等于它的内对角；
判定：①若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径；
②共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆；
③对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆；
④相交弦定理的逆定理：
对于凸四边形ABCD，其对角线AC、BD交于P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆；
⑤割线定理的逆定理：
对于凸四边形ABCD，两边AB、DC的延长线相交于点P，若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆；
四点共圆的妙用：巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长、最值等问题。
【例1】如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。
求证：∠APC=∠BPC
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【变式1】如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交
BC于点G，求证：△AFG为等腰直角三角形。
【例2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的点，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CD于
点P， 交边CD于点F；求证：AE=EP

【变式2】如图，在Rt△ABC和在Rt△DBC中，∠BAC=∠BDC=90°，点O、M分别为BC、AD的中点，
求证：OM⊥AD
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【例3】如图，△ABC和△EFG均为边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段EM长的最大值是 ；
【变式3】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，O为AC的中