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摘要在已知解析函数的实部或虚部的条件下求解析函数,并将其表示为来求解析函数的方法,再以例题说明具体的应用.
关键词 解析函数; 调和函数; 柯西—黎曼方程
Some Methods Of Analytic Functions
以 .
因此 ,将带入,得.
故所求函数为
.
例2证明为调和函数,并求以它为实部的解析函数.
证 令 则有
,
由于,,,
所以 ,
故 为调和函数,也即为调和函数.
由于,,
所以
.
故 .
例3验证在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数.
解 令 则有
,
由于,
故 ,
所以 为调和函数.
又由得
.
所以 .
例4试求以为虚部的解析函数,并满足.
解 令 得
,
可以验证其为调和函数.
由
.
及,得
故 .
因此所求函数为
.
将带入,得
.
2. 线积分法
在两个二元实函数和的表达式中,令,就可以得两个相应的复变量函数.
定理1 已知函数在区域内调和,包含原点,在内解析,则
其中.
证 设由于在内解析,所以解析且满足柯西—黎曼方程,从而
再将右端按图中两端路线积分,第一段由到第二段由到,于是
所以
.
设是中在实轴上的部分,当时
因在内解析,故由唯一性定理可知,在区域上
而且
. □
推论 设在区域内调和,,是中的一次项,在解析且,则
其中 .
这是因为所以由定理即得所述结论.
方法(1) 一般方法 将对求原函数(在原点为者),同时令,即得于是
方法(2) 特殊方法 若是的二元多项式,将中的一次项去掉,乘以再对求原函数(在原点为0者),同时令即得,于是
例5求解析函数.
解所以.
例6求.
解所以.
若条件换成,则（为任意常数）然后再定常数.
例7求.
解,
由得,
故 .
例8为调和函数,求.
解 因为所以,又,故.
,有了就可以知道它的虚部.

引理2设复变函数,且和都有偏导数,那么(形式地)对于可由柯西—黎曼方程可以写为(由此可见,解析函数是以条件为特征的,因此,我们不妨说,一个解析函数与无关,而是的函数).
证明 由及知,
将,代入到中,则可看成与的函数,故又因为,所以
利用柯西—黎曼方程,则,故与无关,是的函数. □
定理2 若已知调和函数且有定义,则相对应的解析函数为
.
证明 根据上述引理,即是关于的函数,则关于的导数为0,即事实上
由柯西—黎曼方程知:于是可把看成的函数,记此函数为,用这个记法可写出恒等式.
如果代入,则由于所需确定的可相差一个纯虚数常数,因此我们可假设实数,即,从而函数可以用公式计算,可任意加上一个纯虚数常数,所以
. □
例9 已知是平面上的调和函数,求以为实部的解析函数.
解 由定理2

定理3 为区域内的调和函数,那么在内以为实部的解析函数为:
.
证 由得
,
所以,现设的共轭调和函数为.
由柯西—黎曼条件有
,
故 所以,由于是解析函数,因此,得,.□
类似可证:
定理3´为区域内的调和函数,那么在内以为虚部的解析函数为:
.
例10求一解析函数,使其实部为.
解 以代入,得
.
所以 ,由上述定理有
.
,很好地解决了复变函数中这一问题的理论与计算.
参考文献
[1][M].北京:高等教育出版社,2007.
[2][J].山东师大学报(自然科学版),1996/04.
[3][M].北京:科学出版社,2008.
[4]苏变萍,(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2010.
[5](第三版)[M].北京:高等教育出